微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{2 x - 5 + 4 x^{2}}{3 - 5 x + x^{2}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 5 + 4 x^{2}}{lim_{x \to 8} 3 - 5 x + x^{2}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 5 + lim_{x \to 8} 4 x^{2}}{lim_{x \to 8} 3 - 5 x + x^{2}}$

解题步骤 3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5 + lim_{x \to 8} 4 x^{2}}{lim_{x \to 8} 3 - 5 x + x^{2}}$

解题步骤 4

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5 + lim_{x \to 8} 4 x^{2}}{lim_{x \to 8} 3 - 5 x + x^{2}}$

解题步骤 5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5 + 4 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 3 - 5 x + x^{2}}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 3 - 5 x + x^{2}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 3 - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} x^{2}}$

解题步骤 8

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{3 - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} x^{2}}$

解题步骤 9

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{3 - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x^{2}}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{3 - 5 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

解题步骤 11

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 5 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{3 - 5 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

解题步骤 11.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 5 + 4 \cdot 8^{2}}{3 - 5 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

解题步骤 11.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 5 + 4 \cdot 8^{2}}{3 - 5 \cdot 8 + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

解题步骤 11.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 5 + 4 \cdot 8^{2}}{3 - 5 \cdot 8 + 8^{2}}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{16 - 1 \cdot 5 + 4 \cdot 8^{2}}{3 - 5 \cdot 8 + 8^{2}}$

解题步骤 12.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{16 - 5 + 4 \cdot 8^{2}}{3 - 5 \cdot 8 + 8^{2}}$

解题步骤 12.1.3

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{16 - 5 + 4 \cdot 64}{3 - 5 \cdot 8 + 8^{2}}$

解题步骤 12.1.4

将 $4$ 乘以 $64$ 。

$\frac{16 - 5 + 256}{3 - 5 \cdot 8 + 8^{2}}$

解题步骤 12.1.5

从 $16$ 中减去 $5$ 。

$\frac{11 + 256}{3 - 5 \cdot 8 + 8^{2}}$

解题步骤 12.1.6

将 $11$ 和 $256$ 相加。

$\frac{267}{3 - 5 \cdot 8 + 8^{2}}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{267}{3 - 40 + 8^{2}}$

解题步骤 12.2.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{267}{3 - 40 + 64}$

解题步骤 12.2.3

从 $3$ 中减去 $40$ 。

$\frac{267}{- 37 + 64}$

解题步骤 12.2.4

将 $- 37$ 和 $64$ 相加。

$\frac{267}{27}$

解题步骤 12.3

约去 $267$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1

从 $267$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (89)}{27}$

解题步骤 12.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 89}{3 \cdot 9}$

解题步骤 12.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 89}{3 \cdot 9}$

解题步骤 12.3.2.3

重写表达式。

$\frac{89}{9}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{89}{9}$

小数形式：

$9.\overline{8}$

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