微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{2 x^{2} - 4}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

解题步骤 4

因为项 $16$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

解题步骤 6

因为项 $64$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

解题步骤 10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

解题步骤 12

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 13

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 13.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 13.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 13.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简分子。

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解题步骤 14.1.1

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 \cdot 4096 + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14.1.2

将 $16$ 乘以 $4096$ 。

$\frac{\sqrt{65536 + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14.1.3

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{65536 + 64 \cdot 64 + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14.1.4

将 $64$ 乘以 $64$ 。

$\frac{\sqrt{65536 + 4096 + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14.1.5

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{65536 + 4096 + 64}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14.1.6

将 $65536$ 和 $4096$ 相加。

$\frac{\sqrt{69632 + 64}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14.1.7

将 $69632$ 和 $64$ 相加。

$\frac{\sqrt{69696}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14.1.8

将 $69696$ 重写为 $264^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{264^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14.1.9

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{264}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{264}{2 \cdot 64 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14.2.2

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$\frac{264}{128 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 14.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{264}{128 - 4}$

解题步骤 14.2.4

从 $128$ 中减去 $4$ 。

$\frac{264}{124}$

解题步骤 14.3

约去 $264$ 和 $124$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1

从 $264$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (66)}{124}$

解题步骤 14.3.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.2.1

从 $124$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 66}{4 \cdot 31}$

解题步骤 14.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 66}{4 \cdot 31}$

解题步骤 14.3.2.3

重写表达式。

$\frac{66}{31}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{66}{31}$

小数形式：

$2.12903225 \dots$

微积分学 示例

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