微积分学示例

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

解题步骤 1

将 $4 x^{3} - 9 x^{4}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 9 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

解题步骤 2.1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 9$ 。

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

解题步骤 2.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 36$ 。

$- 108 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 108 x^{2} + 12 (2 x)$

解题步骤 2.2.3.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 24 x$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 108 x^{2} + 24 x$ 。

$- 108 x^{2} + 24 x$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 108 x^{2} + 24 x = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 108 x^{2} + 24 x = 0$

解题步骤 3.2

从 $- 108 x^{2} + 24 x$ 中分解出因数 $- 12 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $- 108 x^{2}$ 中分解出因数 $- 12 x$ 。

$- 12 x (9 x) + 24 x = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $24 x$ 中分解出因数 $- 12 x$ 。

$- 12 x (9 x) - 12 x \cdot - 2 = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $- 12 x (9 x) - 12 x (- 2)$ 中分解出因数 $- 12 x$ 。

$- 12 x (9 x - 2) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$9 x - 2 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $9 x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $9 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$9 x - 2 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $x$ 的 $9 x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$9 x = 2$

解题步骤 3.5.2.2

将 $9 x = 2$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $9 x = 2$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2}{9}$

解题步骤 3.6

最终解为使 $- 12 x (9 x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{2}{9}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 - 9 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4.3

将 $\frac{2}{9}$ 代入 $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $\frac{2}{9}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{2}{9}) = 4 {(\frac{2}{9})}^{3} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $\frac{2}{9}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{2^{3}}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.3

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{729}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.4

乘以 $4 (\frac{8}{729})$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1

组合 $4$ 和 $\frac{8}{729}$ 。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{4 \cdot 8}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.4.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.5

对 $\frac{2}{9}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{2^{4}}{9^{4}}$

解题步骤 4.3.2.1.6

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{16}{9^{4}}$

解题步骤 4.3.2.1.7

对 $9$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 (\frac{16}{6561})$

解题步骤 4.3.2.1.8

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.8.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 (- 1) (\frac{16}{6561})$

解题步骤 4.3.2.1.8.2

从 $6561$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

解题步骤 4.3.2.1.8.3

约去公因数。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

解题步骤 4.3.2.1.8.4

重写表达式。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 1 (\frac{16}{729})$

解题步骤 4.3.2.1.9

将 $- 1 (\frac{16}{729})$ 重写为 $- (\frac{16}{729})$ 。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - \frac{16}{729}$

解题步骤 4.3.2.2

合并分数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32 - 16}{729}$

解题步骤 4.3.2.2.2

从 $32$ 中减去 $16$ 。

$f (\frac{2}{9}) = \frac{16}{729}$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $\frac{16}{729}$ 。

$\frac{16}{729}$

解题步骤 4.4

通过将 $\frac{2}{9}$ 代入 $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ 中求得的点为 $(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = - 108 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - 108 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 108$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (- 0.1) = - 1.08 + 24 (- 0.1)$

解题步骤 6.2.1.3

将 $24$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = - 1.08 - 2.4$

解题步骤 6.2.2

从 $- 1.08$ 中减去 $2.4$ 。

$f'' (- 0.1) = - 3.48$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 3.48$ 。

$- 3.48$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 3.48$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, \frac{2}{9})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.\overline{1}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 {(0.\overline{1})}^{2} + 24 (0.\overline{1})$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.\overline{1}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 \cdot 0.01234567 + 24 (0.\overline{1})$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 108$ 乘以 $0.01234567$ 。

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 24 (0.\overline{1})$

解题步骤 7.2.1.3

将 $24$ 乘以 $0.\overline{1}$ 。

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 2.\overline{6}$

解题步骤 7.2.2

将 $- 1.33333333$ 和 $2.\overline{6}$ 相加。

$f'' (0.\overline{1}) = 1.33333333$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $1.33333333$ 。

$1.33333333$

解题步骤 7.3

在 $0.\overline{1}$ 处，二阶导数为 $1.33333333$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \frac{2}{9})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \frac{2}{9})$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(\frac{2}{9}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.3\overline{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 {(0.3\overline{2})}^{2} + 24 (0.3\overline{2})$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.3\overline{2}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 \cdot 0.10382716 + 24 (0.3\overline{2})$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 108$ 乘以 $0.10382716$ 。

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 24 (0.3\overline{2})$

解题步骤 8.2.1.3

将 $24$ 乘以 $0.3\overline{2}$ 。

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 7.73333333$

解题步骤 8.2.2

将 $- 11.21333333$ 和 $7.73333333$ 相加。

$f'' (0.3\overline{2}) = - 3.48$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 3.48$ 。

$- 3.48$

解题步骤 8.3

在 $0.3\overline{2}$ ，二阶导数为 $- 3.48$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\frac{2}{9}, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{2}{9}, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ 。

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

解题步骤 10

微积分学 示例

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