微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x)}{x^{3}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

使用极限幂法则把 $\sin^{3} (5 x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{3}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.1.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{3}}$

解题步骤 1.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (5 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (5 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\sin (5 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.3.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.5

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.7

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{3 x^{2}}$

解题步骤 1.4

约去 $15$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

从 $15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 x^{2}}$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 (x^{2})}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 x^{2}}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}}$

解题步骤 2

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$5 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$5 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (5 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$5 \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$5 \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 \frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 \frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.8.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$5 \frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.8.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$5 \frac{0^{2} \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.8.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$5 \frac{0 \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.8.4

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$5 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.8.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$5 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.8.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$5 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$5 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 \frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 3.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$5 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$5 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$5 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin^{2} (5 x)$ 且 $g (x) = \cos (5 x)$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4

通过指数相加将 $\sin^{2} (5 x)$ 乘以 $\sin (5 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1

移动 $\sin (5 x)$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $\sin (5 x)$ 乘以 $\sin^{2} (5 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.2.1

对 $\sin (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 lim_{x \to 0} \frac{{\sin (5 x)}^{1 + 2} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 1 \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 \cdot 1 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.8

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.9

将 $- 5$ 移到 $\sin^{3} (5 x)$ 的左侧。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cdot \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (5 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.10.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (5 x)$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.10.3

使用 $\sin (5 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \cdot 2 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.11

将 $2$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cdot \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.12

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.12.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $5 x$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.12.2

$\sin (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\cos (u_{3})$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.12.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.13

对 $\cos (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{1} (5 x) \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.14

对 $\cos (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 {\cos (5 x)}^{1 + 1} \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.17

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.18

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.20

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.21

重新排序项。

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{2 x}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{x}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 0} 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 0} 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.2

因为项 $10$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.4

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (5 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.7

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.8

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 lim_{x \to 0} \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.10

使用极限幂法则把 $\sin^{3} (5 x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 {(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{3}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.11

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.12

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.13

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.13.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.13.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.13.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.14.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.14.1.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 1^{2} \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14.1.3

一的任意次幂都为一。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14.1.4

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14.1.5

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot \sin (0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 0 - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14.1.7

将 $10$ 乘以 $0$ 。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14.1.8

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14.1.9

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14.1.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14.1.11

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.14.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x) \sin (5 x)]$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos^{2} (5 x)$ 且 $g (x) = \sin (5 x)$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.3.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (5 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (5 x)$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.6.3

使用 $\cos (5 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $5 x$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.7.2

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $- \sin (u_{3})$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.7.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.8

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.10

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.11

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.12

通过指数相加将 $\cos^{2} (5 x)$ 乘以 $\cos (5 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.12.1

移动 $\cos (5 x)$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos (5 x) \cos^{2} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.12.2

将 $\cos (5 x)$ 乘以 $\cos^{2} (5 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.12.2.1

对 $\cos (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 ({\cos (5 x)}^{1 + 2} \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.12.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{3} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.13

将 $5$ 移到 $\cos^{3} (5 x)$ 的左侧。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cdot \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.14

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.15

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.16

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 10 \cos (5 x) \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.17

对 $\sin (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{1} (5 x) \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.18

对 $\sin (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.20

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \sin^{3} (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (5 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $\sin (5 x)$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ 等于 $n {u_{4}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.2.3

使用 $\sin (5 x)$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{5}$ 设为 $5 x$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{5}} [\sin (u_{5})] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.3.2

$\sin (u_{5})$ 对 $u_{5}$ 的导数为 $\cos (u_{5})$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (u_{5}) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.3.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{5}$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.6

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.7

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.8

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.9

将 $15$ 乘以 $- 5$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.1

运用分配律。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \cdot 5 \cos^{3} (5 x) + 10 \cdot - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.1

将 $5$ 乘以 $10$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) + 10 \cdot - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.2.2

将 $- 10$ 乘以 $10$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 100 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.2.3

重新排序 $- 100 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)$ 的因式。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 100 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.2.4

从 $- 100 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ 中减去 $75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.3

重新排序项。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)}{1}$

解题步骤 5.4

用 $- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)$ 除以 $1$ 。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} - 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)$

解题步骤 6

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$5 (\frac{1}{2}) (- lim_{x \to 0} 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

解题步骤 6.2

因为项 $175$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

解题步骤 6.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

解题步骤 6.4

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (5 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 {(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

解题步骤 6.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

解题步骤 6.6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

解题步骤 6.7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

解题步骤 6.8

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

解题步骤 6.9

因为项 $50$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x))$

解题步骤 6.10

使用极限幂法则把 $\cos^{3} (5 x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3})$

解题步骤 6.11

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x))$

解题步骤 6.12

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 7.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

解题步骤 8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{5}{2} (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

解题步骤 8.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{2} (- 175 \sin^{2} (0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{5}{2} (- 175 \cdot 0^{2} \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{5}{2} (- 175 \cdot 0 \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.4

将 $- 175$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{2} (0 \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.5

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{2} (0 \cdot \cos (0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{5}{2} (0 \cdot 1 + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.7

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.8

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cos^{3} (0))$

解题步骤 8.2.9

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cdot 1^{3})$

解题步骤 8.2.10

一的任意次幂都为一。

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cdot 1)$

解题步骤 8.2.11

将 $50$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{2} (0 + 50)$

解题步骤 8.3

将 $0$ 和 $50$ 相加。

$\frac{5}{2} \cdot 50$

解题步骤 8.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.4.1

从 $50$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{2} \cdot (2 (25))$

解题步骤 8.4.2

约去公因数。

$\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 25)$

解题步骤 8.4.3

重写表达式。

$5 \cdot 25$

解题步骤 8.5

将 $5$ 乘以 $25$ 。

$125$

微积分学 示例

微积分学示例