微积分学示例

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{\sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{2 x + 1} - 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{2 x + 1} - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 3

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + 1} - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 1} - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1} - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1} - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 7

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 8

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 10

计算 $2 \sqrt{2}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 11

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 11.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\sqrt{8 + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 12.1.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 12.1.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 12.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 12.1.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 - 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 12.1.6

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 12.2

用 $0$ 除以 $\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ 。

$0$

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