微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 48$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $- 144$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 144 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.5.3

将 $- 144$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 1.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.6.1

因为 $288$ 对于 $x$ 是常数，所以 $288$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

解题步骤 1.6.2

将 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [- 144]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 96$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 96 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 144)$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 144)$

解题步骤 2.4.3

将 $- 96$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + \frac{d}{d x} (- 144)$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.5.1

因为 $- 144$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 144$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $36 x^{2} + 24 x - 96$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 48$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $- 144$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 144 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.5.3

将 $- 144$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

解题步骤 4.1.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.6.1

因为 $288$ 对于 $x$ 是常数，所以 $288$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

解题步骤 4.1.6.2

将 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) - 96 x - 144 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $- 96 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) + 12 (- 8 x) - 144 = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $- 144$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $12 (x^{3}) + 12 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

解题步骤 5.2.1.6

从 $12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

解题步骤 5.2.1.7

从 $12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12) = 0$

解题步骤 5.2.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 5.2.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

解题步骤 5.2.2.3

代入 $- 2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.2.2.3.1

将 $- 2$ 代入多项式。

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.2.2.3.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.2.2.3.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.2.2.3.4

将 $- 8$ 和 $4$ 相加。

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.2.2.3.5

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 + 16 - 12$

解题步骤 5.2.2.3.6

将 $- 4$ 和 $16$ 相加。

$12 - 12$

解题步骤 5.2.2.3.7

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$0$

解题步骤 5.2.2.4

因为 $- 2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

解题步骤 5.2.2.5

用 $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 5.2.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

解题步骤 5.2.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

解题步骤 5.2.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 5.2.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 5.2.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 5.2.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 5.2.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 5.2.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

解题步骤 5.2.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

解题步骤 5.2.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 6 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

解题步骤 5.2.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

解题步骤 5.2.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x - 12$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

解题步骤 5.2.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

解题步骤 5.2.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - x - 6$

解题步骤 5.2.2.6

将 $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ 书写为因数的集合。

$12 ((x + 2) (x^{2} - x - 6)) = 0$

解题步骤 5.2.3

因数。

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解题步骤 5.2.3.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.3.1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$12 ((x + 2) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

解题步骤 5.2.3.1.2

去掉多余的括号。

$12 ((x + 2) (x - 3) (x + 2)) = 0$

解题步骤 5.2.3.2

去掉多余的括号。

$12 (x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

解题步骤 5.2.4

合并指数。

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解题步骤 5.2.4.1

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

解题步骤 5.2.4.2

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

解题步骤 5.2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 {(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

解题步骤 5.2.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.4

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 5.4.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 5.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5.6

最终解为使 $12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 3$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 2, 3$

解题步骤 8

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$36 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 96$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$36 \cdot 4 + 24 (- 2) - 96$

解题步骤 9.1.2

将 $36$ 乘以 $4$ 。

$144 + 24 (- 2) - 96$

解题步骤 9.1.3

将 $24$ 乘以 $- 2$ 。

$144 - 48 - 96$

解题步骤 9.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

从 $144$ 中减去 $48$ 。

$96 - 96$

解题步骤 9.2.2

从 $96$ 中减去 $96$ 。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, - 2)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 4) = 12 \cdot - 64 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $12$ 乘以 $- 64$ 。

$f' (- 4) = - 768 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 4) = - 768 + 12 \cdot 16 - 96 \cdot - 4 - 144$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $12$ 乘以 $16$ 。

$f' (- 4) = - 768 + 192 - 96 \cdot - 4 - 144$

解题步骤 10.2.2.1.5

将 $- 96$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 4) = - 768 + 192 + 384 - 144$

解题步骤 10.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.2.2.2.1

将 $- 768$ 和 $192$ 相加。

$f' (- 4) = - 576 + 384 - 144$

解题步骤 10.2.2.2.2

将 $- 576$ 和 $384$ 相加。

$f' (- 4) = - 192 - 144$

解题步骤 10.2.2.2.3

从 $- 192$ 中减去 $144$ 。

$f' (- 4) = - 336$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $- 336$ 。

$- 336$

解题步骤 10.3

将区间 $(- 2, 3)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 12 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 12 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

解题步骤 10.3.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 - 96 \cdot 0 - 144$

解题步骤 10.3.2.1.4

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 0 - 96 \cdot 0 - 144$

解题步骤 10.3.2.1.5

将 $- 96$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 144$

解题步骤 10.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.3.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = 0 + 0 - 144$

解题步骤 10.3.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = 0 - 144$

解题步骤 10.3.2.2.3

从 $0$ 中减去 $144$ 。

$f' (0) = - 144$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $- 144$ 。

$- 144$

解题步骤 10.4

将区间 $(3, \infty)$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (6) = 12 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $12$ 乘以 $216$ 。

$f' (6) = 2592 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

解题步骤 10.4.2.1.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6) = 2592 + 12 \cdot 36 - 96 \cdot 6 - 144$

解题步骤 10.4.2.1.4

将 $12$ 乘以 $36$ 。

$f' (6) = 2592 + 432 - 96 \cdot 6 - 144$

解题步骤 10.4.2.1.5

将 $- 96$ 乘以 $6$ 。

$f' (6) = 2592 + 432 - 576 - 144$

解题步骤 10.4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.4.2.2.1

将 $2592$ 和 $432$ 相加。

$f' (6) = 3024 - 576 - 144$

解题步骤 10.4.2.2.2

从 $3024$ 中减去 $576$ 。

$f' (6) = 2448 - 144$

解题步骤 10.4.2.2.3

从 $2448$ 中减去 $144$ 。

$f' (6) = 2304$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $2304$ 。

$2304$

解题步骤 10.5

由于一阶导数在 $x = - 2$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = 3$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 3$ 是极小值。

$x = 3$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例