微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4} - 30 x + 27$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 30 x + 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 30 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{3} - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 30$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{3} - 30 + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{3} - 30 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $12 x^{3} - 30$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{3} - 30$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $12 x^{3} - 30$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 30)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 30$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $36 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 36 x^{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$12 x^{3} - 30 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 30 x + 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 30 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{3} - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 30$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{3} - 30 + \frac{d}{d x} [27]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{3} - 30 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $12 x^{3} - 30$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{3} - 30$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{3} - 30$ 。

$12 x^{3} - 30$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{3} - 30 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{3} - 30 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $30$ 。

$12 x^{3} = 30$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $30$ 。

$12 x^{3} - 30 = 0$

解题步骤 5.4

从 $12 x^{3} - 30$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{3}) - 30 = 0$

解题步骤 5.4.2

从 $- 30$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{3}) + 6 (- 5) = 0$

解题步骤 5.4.3

从 $6 (2 x^{3}) + 6 (- 5)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{3} - 5) = 0$

解题步骤 5.5

将 $6 (2 x^{3} - 5) = 0$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $6 (2 x^{3} - 5) = 0$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 (2 x^{3} - 5)}{6} = \frac{0}{6}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 (2 x^{3} - 5)}{6} = \frac{0}{6}$

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $2 x^{3} - 5$ 除以 $1$ 。

$2 x^{3} - 5 = \frac{0}{6}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

用 $0$ 除以 $6$ 。

$2 x^{3} - 5 = 0$

解题步骤 5.6

在等式两边都加上 $5$ 。

$2 x^{3} = 5$

解题步骤 5.7

将 $2 x^{3} = 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.7.1

将 $2 x^{3} = 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 5.7.2

化简左边。

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解题步骤 5.7.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 5.7.2.1.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{5}{2}$

解题步骤 5.8

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{\frac{5}{2}}$

解题步骤 5.9

化简 $\sqrt[3]{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 5.9.1

将 $\sqrt[3]{\frac{5}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{2}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{2}}$

解题步骤 5.9.2

将 $\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 5.9.3

合并和化简分母。

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解题步骤 5.9.3.1

将 $\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 5.9.3.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 5.9.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.9.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

解题步骤 5.9.3.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.9.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 5.9.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 5.9.3.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.9.3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.3.5.4.1

约去公因数。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.9.3.5.4.2

重写表达式。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

解题步骤 5.9.3.5.5

计算指数。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 5.9.4

化简分子。

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解题步骤 5.9.4.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

解题步骤 5.9.4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} \sqrt[3]{4}}{2}$

解题步骤 5.9.5

化简分子。

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解题步骤 5.9.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \frac{\sqrt[3]{5 \cdot 4}}{2}$

解题步骤 5.9.5.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$36 {(\frac{\sqrt[3]{20}}{2})}^{2}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

对 $\frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ 运用乘积法则。

$36 \frac{{\sqrt[3]{20}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

将 ${\sqrt[3]{20}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{20^{2}}$ 。

$36 \frac{\sqrt[3]{20^{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 9.2.2

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$36 \frac{\sqrt[3]{400}}{2^{2}}$

解题步骤 9.2.3

将 $400$ 重写为 $2^{3} \cdot 50$ 。

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解题步骤 9.2.3.1

从 $400$ 中分解出因数 $8$ 。

$36 \frac{\sqrt[3]{8 (50)}}{2^{2}}$

解题步骤 9.2.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$36 \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 50}}{2^{2}}$

解题步骤 9.2.4

从根式下提出各项。

$36 \frac{2 \sqrt[3]{50}}{2^{2}}$

解题步骤 9.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$36 \frac{2 \sqrt[3]{50}}{4}$

解题步骤 9.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (9) \frac{2 \sqrt[3]{50}}{4}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

$4 \cdot 9 \frac{2 \sqrt[3]{50}}{4}$

解题步骤 9.3.2.3

重写表达式。

$9 (2 \sqrt[3]{50})$

解题步骤 9.3.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$18 \sqrt[3]{50}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 {(\frac{\sqrt[3]{20}}{2})}^{4} - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $\frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{{\sqrt[3]{20}}^{4}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.1.2.1

将 ${\sqrt[3]{20}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[3]{20^{4}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt[3]{20^{4}}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.2.2

对 $20$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt[3]{160000}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.2.3

将 $160000$ 重写为 $20^{3} \cdot 20$ 。

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解题步骤 11.2.1.2.3.1

从 $160000$ 中分解出因数 $8000$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt[3]{8000 (20)}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.2.3.2

将 $8000$ 重写为 $20^{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt[3]{20^{3} \cdot 20}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.2.4

从根式下提出各项。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{20 \sqrt[3]{20}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{20 \sqrt[3]{20}}{16}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $20$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

从 $20 \sqrt[3]{20}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{4 (5 \sqrt[3]{20})}{16}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{4 (5 \sqrt[3]{20})}{4 (4)}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{4 (5 \sqrt[3]{20})}{4 \cdot 4}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{5 \sqrt[3]{20}}{4}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.5

乘以 $3 \frac{5 \sqrt[3]{20}}{4}$ 。

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解题步骤 11.2.1.5.1

组合 $3$ 和 $\frac{5 \sqrt[3]{20}}{4}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{3 (5 \sqrt[3]{20})}{4} - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.5.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

解题步骤 11.2.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.6.1

从 $- 30$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} + 2 (- 15) (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) + 27$

解题步骤 11.2.1.6.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} + 2 \cdot (- 15 \frac{\sqrt[3]{20}}{2}) + 27$

解题步骤 11.2.1.6.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} - 15 \sqrt[3]{20} + 27$

解题步骤 11.2.2

要将 $- 15 \sqrt[3]{20}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} - 15 \sqrt[3]{20} \cdot \frac{4}{4} + 27$

解题步骤 11.2.3

合并分数。

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解题步骤 11.2.3.1

组合 $- 15 \sqrt[3]{20}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} + \frac{- 15 \sqrt[3]{20} \cdot 4}{4} + 27$

解题步骤 11.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20} - 15 \sqrt[3]{20} \cdot 4}{4} + 27$

解题步骤 11.2.4

化简每一项。

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解题步骤 11.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 11.2.4.1.1

将 $4$ 乘以 $- 15$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20} - 60 \sqrt[3]{20}}{4} + 27$

解题步骤 11.2.4.1.2

从 $15 \sqrt[3]{20}$ 中减去 $60 \sqrt[3]{20}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{- 45 \sqrt[3]{20}}{4} + 27$

解题步骤 11.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = - \frac{45 \sqrt[3]{20}}{4} + 27$

解题步骤 11.2.5

最终答案为 $- \frac{45 \sqrt[3]{20}}{4} + 27$ 。

$y = - \frac{45 \sqrt[3]{20}}{4} + 27$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = 3 x^{4} - 30 x + 27$ 的局部极值。

$(\frac{\sqrt[3]{20}}{2}, - \frac{45 \sqrt[3]{20}}{4} + 27)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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