微积分学示例

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 \cos (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 6 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 6 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 \frac{d}{d x} \cos (x)$

解题步骤 2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 (- \sin (x))$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = - 6 \cos^{2} (x) - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

解题步骤 2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = - 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$

解题步骤 4

对 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

从 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 中分解出因数 $6 \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $- 6 \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $6 \cos (x)$ 。

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 6 \cos (x) = 0$

解题步骤 4.1.2

从 $- 6 \cos (x)$ 中分解出因数 $6 \cos (x)$ 。

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 4.1.3

从 $6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $6 \cos (x)$ 。

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 4.2

将 $- 1 \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 6

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 6.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 6.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.2.5

方程 $x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 7

将 $- \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$- \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $- \sin (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- \sin (x) = 1$

解题步骤 7.2.2

将 $- \sin (x) = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- \sin (x) = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 7.2.2.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 7.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 7.2.4

化简右边。

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解题步骤 7.2.4.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 7.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.2.6.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 7.2.6.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 7.2.7

方程 $x = - \frac{π}{2}$ 的解。

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8

最终解为使 $6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

解题步骤 9

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 6 \cdot 0 + 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.3

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 6 \cdot 1^{2} + 6 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.5

一的任意次幂都为一。

$0 + 6 \cdot 1 + 6 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$0 + 6 + 6 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 6 + 6 \cdot 1$

解题步骤 10.1.8

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$0 + 6 + 6$

解题步骤 10.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$6 + 6$

解题步骤 10.2.2

将 $6$ 和 $6$ 相加。

$12$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{π}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = \frac{π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 0^{2} - 6 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 0 - 6 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.2.1.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 6 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.2.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 6 \cdot 1$

解题步骤 12.2.1.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 6$

解题步骤 12.2.2

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f (\frac{π}{2}) = - 6$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$y = - 6$

解题步骤 13

计算在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 6 \cdot 0 + 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.4

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$0 + 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 6 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 6 {(- 1)}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 + 6 \cdot 1 + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.9

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$0 + 6 + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.10

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$0 + 6 + 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 14.1.11

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 6 + 6 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 14.1.12

乘以 $6 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 14.1.12.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 6 + 6 \cdot - 1$

解题步骤 14.1.12.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 6 - 6$

解题步骤 14.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 14.2.1

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$6 - 6$

解题步骤 14.2.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$0$

解题步骤 15

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 15.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

解题步骤 15.2

将区间 $(- \infty, - \frac{π}{2})$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 15.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = - 6 \cos (- 4) \sin (- 4) - 6 \cos (- 4)$

解题步骤 15.2.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.2.1.1

计算 $\cos (- 4)$ 。

$f' (- 4) = - 6 \cdot (- 0.65364362 \sin (- 4)) - 6 \cos (- 4)$

解题步骤 15.2.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $- 0.65364362$ 。

$f' (- 4) = 3.92186172 \sin (- 4) - 6 \cos (- 4)$

解题步骤 15.2.2.1.3

计算 $\sin (- 4)$ 。

$f' (- 4) = 3.92186172 \cdot 0.75680249 - 6 \cos (- 4)$

解题步骤 15.2.2.1.4

将 $3.92186172$ 乘以 $0.75680249$ 。

$f' (- 4) = 2.96807473 - 6 \cos (- 4)$

解题步骤 15.2.2.1.5

计算 $\cos (- 4)$ 。

$f' (- 4) = 2.96807473 - 6 \cdot - 0.65364362$

解题步骤 15.2.2.1.6

将 $- 6$ 乘以 $- 0.65364362$ 。

$f' (- 4) = 2.96807473 + 3.92186172$

解题步骤 15.2.2.2

将 $2.96807473$ 和 $3.92186172$ 相加。

$f' (- 4) = 6.88993646$

解题步骤 15.2.2.3

最终答案为 $6.88993646$ 。

$6.88993646$

解题步骤 15.3

将区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 15.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = - 6 \cos (0) \sin (0) - 6 \cos (0)$

解题步骤 15.3.2

化简结果。

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解题步骤 15.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.3.2.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f' (0) = - 6 \cdot (1 \sin (0)) - 6 \cos (0)$

解题步骤 15.3.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (0) = - 6 \sin (0) - 6 \cos (0)$

解题步骤 15.3.2.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f' (0) = - 6 \cdot 0 - 6 \cos (0)$

解题步骤 15.3.2.1.4

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 6 \cos (0)$

解题步骤 15.3.2.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

解题步骤 15.3.2.1.6

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (0) = 0 - 6$

解题步骤 15.3.2.2

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f' (0) = - 6$

解题步骤 15.3.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 15.4

将区间 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 15.4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = - 6 \cos (3) \sin (3) - 6 \cos (3)$

解题步骤 15.4.2

化简结果。

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解题步骤 15.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.4.2.1.1

计算 $\cos (3)$ 。

$f' (3) = - 6 \cdot (- 0.98999249 \sin (3)) - 6 \cos (3)$

解题步骤 15.4.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $- 0.98999249$ 。

$f' (3) = 5.93995497 \sin (3) - 6 \cos (3)$

解题步骤 15.4.2.1.3

计算 $\sin (3)$ 。

$f' (3) = 5.93995497 \cdot 0.14112 - 6 \cos (3)$

解题步骤 15.4.2.1.4

将 $5.93995497$ 乘以 $0.14112$ 。

$f' (3) = 0.83824649 - 6 \cos (3)$

解题步骤 15.4.2.1.5

计算 $\cos (3)$ 。

$f' (3) = 0.83824649 - 6 \cdot - 0.98999249$

解题步骤 15.4.2.1.6

将 $- 6$ 乘以 $- 0.98999249$ 。

$f' (3) = 0.83824649 + 5.93995497$

解题步骤 15.4.2.2

将 $0.83824649$ 和 $5.93995497$ 相加。

$f' (3) = 6.77820147$

解题步骤 15.4.2.3

最终答案为 $6.77820147$ 。

$6.77820147$

解题步骤 15.5

将区间 $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $7$ ）代入一阶导数 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 15.5.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (7) = - 6 \cos (7) \sin (7) - 6 \cos (7)$

解题步骤 15.5.2

化简结果。

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解题步骤 15.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.5.2.1.1

计算 $\cos (7)$ 。

$f' (7) = - 6 \cdot (0.75390225 \sin (7)) - 6 \cos (7)$

解题步骤 15.5.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $0.75390225$ 。

$f' (7) = - 4.52341352 \sin (7) - 6 \cos (7)$

解题步骤 15.5.2.1.3

计算 $\sin (7)$ 。

$f' (7) = - 4.52341352 \cdot 0.65698659 - 6 \cos (7)$

解题步骤 15.5.2.1.4

将 $- 4.52341352$ 乘以 $0.65698659$ 。

$f' (7) = - 2.97182206 - 6 \cos (7)$

解题步骤 15.5.2.1.5

计算 $\cos (7)$ 。

$f' (7) = - 2.97182206 - 6 \cdot 0.75390225$

解题步骤 15.5.2.1.6

将 $- 6$ 乘以 $0.75390225$ 。

$f' (7) = - 2.97182206 - 4.52341352$

解题步骤 15.5.2.2

从 $- 2.97182206$ 中减去 $4.52341352$ 。

$f' (7) = - 7.49523559$

解题步骤 15.5.2.3

最终答案为 $- 7.49523559$ 。

$- 7.49523559$

解题步骤 15.6

由于一阶导数在 $x = - \frac{π}{2}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = - \frac{π}{2}$ 是极大值。

$x = - \frac{π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 15.7

由于一阶导数在 $x = \frac{π}{2}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{π}{2}$ 是极小值。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 15.8

由于一阶导数在 $x = \frac{3 π}{2}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{3 π}{2}$ 是极大值。

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 15.9

这些是 $f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ 的局部极值。

$x = - \frac{π}{2}$ 是一个极大值

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极小值

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极大值

$x = - \frac{π}{2}$ 是一个极大值

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极小值

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 16

微积分学 示例

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