微积分学示例

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

解题步骤 1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$2 \cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos (x) - (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 1.3.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

解题步骤 2.3.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 4 \cos (2 x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

使用正弦倍角公式。

$2 \cos (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 5

从 $2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

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解题步骤 5.1

从 $2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 5.2

从 $4 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 5.3

从 $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x))$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 7

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 7.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 7.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 7.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 7.2.5

方程 $x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8

将 $1 + 2 \sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $1 + 2 \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$1 + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $1 + 2 \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \sin (x) = - 1$

解题步骤 8.2.2

将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 8.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 8.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 8.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 8.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 8.2.4

化简右边。

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解题步骤 8.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 8.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 8.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 8.2.6.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 8.2.6.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 8.2.7

方程 $x = - \frac{π}{6}$ 的解。

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

解题步骤 9

最终解为使 $2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

解题步骤 10

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 \cdot 1 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 11.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 11.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.3.1

约去公因数。

$- 2 + 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

解题步骤 11.1.3.2

重写表达式。

$- 2 + 4 \cos (π)$

解题步骤 11.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 2 + 4 (- \cos (0))$

解题步骤 11.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 11.1.6

乘以 $4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 11.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + 4 \cdot - 1$

解题步骤 11.1.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 - 4$

解题步骤 11.2

从 $- 2$ 中减去 $4$ 。

$- 6$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 13

求 $x = \frac{π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 13.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 13.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.3.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 13.2.1.3.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (π)$

解题步骤 13.2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (0)$

解题步骤 13.2.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 13.2.1.6

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 13.2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

解题步骤 13.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

解题步骤 13.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{π}{2}) = 3$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 14

计算在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 15

计算二阶导数。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 15.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 (- 1 \cdot 1) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 15.1.3

乘以 $- 2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 15.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 15.1.3.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 15.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.4.1

约去公因数。

$2 + 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

解题步骤 15.1.4.2

重写表达式。

$2 + 4 \cos (3 π)$

解题步骤 15.1.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 + 4 \cos (π)$

解题步骤 15.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 + 4 (- \cos (0))$

解题步骤 15.1.7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.1.8

乘以 $4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 15.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 + 4 \cdot - 1$

解题步骤 15.1.8.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$2 - 4$

解题步骤 15.2

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$- 2$

解题步骤 16

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 17

求 $x = \frac{3 π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 17.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 17.2

化简结果。

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解题步骤 17.2.1

化简每一项。

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解题步骤 17.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 17.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 17.2.1.3

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 17.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 17.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 17.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 17.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (3 π)$

解题步骤 17.2.1.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (π)$

解题步骤 17.2.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (0)$

解题步骤 17.2.1.7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 17.2.1.8

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 17.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

解题步骤 17.2.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

解题步骤 17.2.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

解题步骤 17.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 18

计算在 $x = - \frac{π}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sin (- \frac{π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 19

计算二阶导数。

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解题步骤 19.1

化简每一项。

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解题步骤 19.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 19.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 19.1.3

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 19.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.1.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 19.1.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 19.1.4.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 19.1.4.4

重写表达式。

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 19.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 19.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.1.6.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{6})$

解题步骤 19.1.6.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 (3)})$

解题步骤 19.1.6.3

约去公因数。

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 19.1.6.4

重写表达式。

$1 + 4 \cos (\frac{- π}{3})$

解题步骤 19.1.7

将负号移到分数的前面。

$1 + 4 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 19.1.8

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$1 + 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 19.1.9

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 19.1.10

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

解题步骤 19.1.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.1.11.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

解题步骤 19.1.11.2

约去公因数。

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

解题步骤 19.1.11.3

重写表达式。

$1 + 2$

解题步骤 19.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3$

解题步骤 20

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{π}{6}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{π}{6}$ 是一个极小值

解题步骤 21

求 $x = - \frac{π}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 21.1

使用表达式中的 $- \frac{π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- \frac{π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 21.2

化简结果。

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解题步骤 21.2.1

化简每一项。

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解题步骤 21.2.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{11 π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 21.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 21.2.1.3

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 21.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 21.2.1.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 21.2.1.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 21.2.1.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 21.2.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 21.2.1.5.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{6}))$

解题步骤 21.2.1.5.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 (3)}))$

解题步骤 21.2.1.5.3

约去公因数。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 3}))$

解题步骤 21.2.1.5.4

重写表达式。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{- π}{3})$

解题步骤 21.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.2.1.7

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 21.2.1.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.2.1.9

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 21.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 21.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 21.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 21.2.5

化简分子。

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解题步骤 21.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

解题步骤 21.2.5.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 21.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

解题步骤 21.2.7

最终答案为 $- \frac{3}{2}$ 。

$y = - \frac{3}{2}$

解题步骤 22

计算在 $x = \frac{7 π}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sin (\frac{7 π}{6}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 23

计算二阶导数。

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解题步骤 23.1

化简每一项。

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解题步骤 23.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 23.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 23.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.1.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 23.1.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 23.1.3.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 23.1.3.4

重写表达式。

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 23.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 23.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.1.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 (3)})$

解题步骤 23.1.5.2

约去公因数。

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 23.1.5.3

重写表达式。

$1 + 4 \cos (\frac{7 π}{3})$

解题步骤 23.1.6

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.1.7

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

解题步骤 23.1.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.1.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

解题步骤 23.1.8.2

约去公因数。

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

解题步骤 23.1.8.3

重写表达式。

$1 + 2$

解题步骤 23.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3$

解题步骤 24

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{7 π}{6}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{7 π}{6}$ 是一个极小值

解题步骤 25

求 $x = \frac{7 π}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 25.1

使用表达式中的 $\frac{7 π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \sin (\frac{7 π}{6}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 25.2

化简结果。

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解题步骤 25.2.1

化简每一项。

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解题步骤 25.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 25.2.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 25.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 25.2.1.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 25.2.1.3.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 25.2.1.3.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 25.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 25.2.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 (3)}))$

解题步骤 25.2.1.4.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 3}))$

解题步骤 25.2.1.4.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{7 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 25.2.1.6

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 25.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 25.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 25.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 25.2.5

化简分子。

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解题步骤 25.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

解题步骤 25.2.5.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 25.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

解题步骤 25.2.7

最终答案为 $- \frac{3}{2}$ 。

$y = - \frac{3}{2}$

解题步骤 26

这些是 $f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{2}, 3)$ 是一个局部最大值

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ 是一个局部最大值

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{2})$ 是一个局部最小值

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ 是一个局部最小值

解题步骤 27

微积分学 示例

微积分学示例