微积分学示例

$f (x) = 2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{6}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$4 x - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$4 x - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 1.3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x - 6 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

解题步骤 1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 x - 6 (- x^{- 4} (2 x))$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x - 6 (- 2 x^{- 4} x)$

解题步骤 1.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x - 6 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x - 6 (- 2 x^{1 - 4})$

解题步骤 1.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$4 x - 6 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 1.3.10

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$4 x + 12 x^{- 3}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 x + 12 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1.4.2

组合 $12$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$4 x + \frac{12}{x^{3}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x + \frac{12}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{12}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = 4 + 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 4 + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.3.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.3.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

解题步骤 2.3.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

解题步骤 2.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{2 - 6})$

解题步骤 2.3.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 2.3.8

将 $- 3$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 4 - 36 x^{- 4}$

解题步骤 2.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 4 - 36 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

合并项。

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解题步骤 2.5.1.1

组合 $- 36$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$f'' (x) = 4 + \frac{- 36}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.1.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 4 - \frac{36}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$f'' (x) = - \frac{36}{x^{4}} + 4$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x + \frac{12}{x^{3}} = 0$

解题步骤 4

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 5

不存在局部极值

解题步骤 6

微积分学 示例

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