微积分学示例

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 336 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 3 x^{2} - 336 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 336 x]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 336 x]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 336 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 336$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 336 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 336 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 336 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 336 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $- 336$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 336$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $6 x^{2} + 6 x - 336$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 336]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 336)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 336)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 336)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 336)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 336)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 336)$

解题步骤 2.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 336)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 336$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 336$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 12 x + 6 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $12 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x + 6$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$6 x^{2} + 6 x - 336 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 3 x^{2} - 336 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 336 x]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 336$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 336 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 336 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 336 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 336 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4.3

将 $- 336$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 336$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x^{2} + 6 x - 336$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 336$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{2} + 6 x - 336 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 336 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $6 x^{2} + 6 x - 336$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 x - 336 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 336 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $- 336$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 56 = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $6 (x^{2}) + 6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 56 = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 56$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} + x - 56) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

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解题步骤 5.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 56$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 56$ ，和为 $1$ 。

$- 7, 8$

解题步骤 5.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$6 ((x - 7) (x + 8)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$6 (x - 7) (x + 8) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

$x + 8 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 5.5

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 。

$x + 8 = 0$

解题步骤 5.5.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x = - 8$

解题步骤 5.6

最终解为使 $6 (x - 7) (x + 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 7, - 8$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 7, - 8$

解题步骤 8

计算在 $x = 7$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 (7) + 6$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $12$ 乘以 $7$ 。

$84 + 6$

解题步骤 9.2

将 $84$ 和 $6$ 相加。

$90$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 7$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 7$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 7$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f (7) = 2 {(7)}^{3} + 3 {(7)}^{2} - 336 \cdot 7$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (7) = 2 \cdot 343 + 3 {(7)}^{2} - 336 \cdot 7$

解题步骤 11.2.1.2

将 $2$ 乘以 $343$ 。

$f (7) = 686 + 3 {(7)}^{2} - 336 \cdot 7$

解题步骤 11.2.1.3

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (7) = 686 + 3 \cdot 49 - 336 \cdot 7$

解题步骤 11.2.1.4

将 $3$ 乘以 $49$ 。

$f (7) = 686 + 147 - 336 \cdot 7$

解题步骤 11.2.1.5

将 $- 336$ 乘以 $7$ 。

$f (7) = 686 + 147 - 2352$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $686$ 和 $147$ 相加。

$f (7) = 833 - 2352$

解题步骤 11.2.2.2

从 $833$ 中减去 $2352$ 。

$f (7) = - 1519$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 1519$ 。

$y = - 1519$

解题步骤 12

计算在 $x = - 8$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 (- 8) + 6$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将 $12$ 乘以 $- 8$ 。

$- 96 + 6$

解题步骤 13.2

将 $- 96$ 和 $6$ 相加。

$- 90$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 8$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 8$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - 8$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 8$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 8) = 2 {(- 8)}^{3} + 3 {(- 8)}^{2} - 336 \cdot - 8$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $- 8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 8) = 2 \cdot - 512 + 3 {(- 8)}^{2} - 336 \cdot - 8$

解题步骤 15.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 512$ 。

$f (- 8) = - 1024 + 3 {(- 8)}^{2} - 336 \cdot - 8$

解题步骤 15.2.1.3

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 8) = - 1024 + 3 \cdot 64 - 336 \cdot - 8$

解题步骤 15.2.1.4

将 $3$ 乘以 $64$ 。

$f (- 8) = - 1024 + 192 - 336 \cdot - 8$

解题步骤 15.2.1.5

将 $- 336$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- 8) = - 1024 + 192 + 2688$

解题步骤 15.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $- 1024$ 和 $192$ 相加。

$f (- 8) = - 832 + 2688$

解题步骤 15.2.2.2

将 $- 832$ 和 $2688$ 相加。

$f (- 8) = 1856$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $1856$ 。

$y = 1856$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 336 x$ 的局部极值。

$(7, - 1519)$ 是一个局部最小值

$(- 8, 1856)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

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