微积分学示例

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 11 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $- 11$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} + 2 x - 11$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $6 x^{2} + 2 x - 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 11)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 11)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 12 x + 2 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $12 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x + 2$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 11 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4.3

将 $- 11$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x^{2} + 2 x - 11$ 。

$6 x^{2} + 2 x - 11$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

解题步骤 5.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.3

将 $a = 6$ 、 $b = 2$ 和 $c = - 11$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 11)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将 $- 24$ 乘以 $- 11$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.4.1.3

将 $4$ 和 $264$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $268$ 重写为 $2^{2} \cdot 67$ 。

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解题步骤 5.4.1.4.1

从 $268$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

解题步骤 5.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

解题步骤 5.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.1.2.2

将 $- 24$ 乘以 $- 11$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.1.3

将 $4$ 和 $264$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.1.4

将 $268$ 重写为 $2^{2} \cdot 67$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1

从 $268$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

解题步骤 5.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

解题步骤 5.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + \sqrt{67}}{6}$

解题步骤 5.5.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{67}}{6}$

解题步骤 5.5.6

从 $\sqrt{67}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{67})}{6}$

解题步骤 5.5.7

从 $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{67})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{67})}{6}$

解题步骤 5.5.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$

解题步骤 5.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.6.1

化简分子。

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解题步骤 5.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ 。

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解题步骤 5.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.6.1.2.2

将 $- 24$ 乘以 $- 11$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.6.1.3

将 $4$ 和 $264$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.6.1.4

将 $268$ 重写为 $2^{2} \cdot 67$ 。

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解题步骤 5.6.1.4.1

从 $268$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.6.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

解题步骤 5.6.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

解题步骤 5.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - \sqrt{67}}{6}$

解题步骤 5.6.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{67}}{6}$

解题步骤 5.6.6

从 $- \sqrt{67}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{67})}{6}$

解题步骤 5.6.7

从 $- 1 (1) - (\sqrt{67})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{67})}{6}$

解题步骤 5.6.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

解题步骤 5.7

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

解题步骤 8

计算在 $x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) + 2$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$12 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

解题步骤 9.1.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2) \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

解题步骤 9.1.1.3

约去公因数。

$6 \cdot 2 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

解题步骤 9.1.1.4

重写表达式。

$2 (- (1 - \sqrt{67})) + 2$

解题步骤 9.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (1 - \sqrt{67}) + 2$

解题步骤 9.1.3

运用分配律。

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

解题步骤 9.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

解题步骤 9.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 + 2 \sqrt{67} + 2$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0 + 2 \sqrt{67}$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $2 \sqrt{67}$ 相加。

$2 \sqrt{67}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.1.1.1

对 $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.1.2

对 $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.3

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

将 $- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.4.2

从 $216$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.4.3

约去公因数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.4.4

重写表达式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.5

使用二项式定理。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.6.1

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.2

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 (- \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(- \sqrt{67})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.6

对 $- \sqrt{67}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.8

将 ${\sqrt{67}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.9

将 ${\sqrt{67}}^{2}$ 重写为 $67$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.6.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{67}$ 重写成 $67^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.6.9.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.9.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.9.5

计算指数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.10

将 $3$ 乘以 $67$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.11

对 $- \sqrt{67}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.13

将 ${\sqrt{67}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{67^{3}}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.14

对 $67$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.15

将 $300763$ 重写为 $67^{2} \cdot 67$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.6.15.1

从 $300763$ 中分解出因数 $4489$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.15.2

将 $4489$ 重写为 $67^{2}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.16

从根式下提出各项。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - (67 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.6.17

将 $67$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.7

将 $1$ 和 $201$ 相加。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 3 \sqrt{67} - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.8

从 $- 3 \sqrt{67}$ 中减去 $67 \sqrt{67}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.9

约去 $202 - 70 \sqrt{67}$ 和 $108$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.9.1

从 $- (202 - 70 \sqrt{67})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.9.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.1.9.2.1

从 $108$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.9.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.9.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.11

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.1.11.1

对 $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.11.2

对 $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.12

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.13

将 $\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.14

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.15

将 ${(1 - \sqrt{67})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.16

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ 。

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解题步骤 11.2.1.16.1

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 - \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.16.2

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.16.3

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.2.1.17.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.17.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.2

将 $- \sqrt{67}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.4

乘以 $- \sqrt{67} (- \sqrt{67})$ 。

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解题步骤 11.2.1.17.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 1 \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.4.2

将 $\sqrt{67}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.4.3

对 $\sqrt{67}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.4.4

对 $\sqrt{67}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{1 + 1}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.5

将 ${\sqrt{67}}^{2}$ 重写为 $67$ 。

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解题步骤 11.2.1.17.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{67}$ 重写成 $67^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.17.1.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.1.5.5

计算指数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.2

将 $1$ 和 $67$ 相加。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - \sqrt{67} - \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.17.3

从 $- \sqrt{67}$ 中减去 $\sqrt{67}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.18

约去 $68 - 2 \sqrt{67}$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.18.1

从 $68$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.18.2

从 $- 2 \sqrt{67}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) + 2 (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.18.3

从 $2 (34) + 2 (- \sqrt{67})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.18.4

约去公因数。

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解题步骤 11.2.1.18.4.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.18.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.18.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.19

乘以 $- 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$ 。

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解题步骤 11.2.1.19.1

将 $- 1$ 乘以 $- 11$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 11.2.1.19.2

组合 $11$ 和 $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

解题步骤 11.2.2

求公分母。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

解题步骤 11.2.2.3

将 $\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 11.2.2.4

将 $\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

解题步骤 11.2.2.5

重新排序 $18 \cdot 3$ 的因式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

解题步骤 11.2.2.6

将 $3$ 乘以 $18$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

解题步骤 11.2.2.7

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4

化简每一项。

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解题步骤 11.2.4.1

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $101$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4.3

将 $- 35$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4.4

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4.5

将 $34$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4.7

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4.8

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4.9

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 - 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4.10

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4.11

将 $11$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

解题步骤 11.2.4.12

将 $9$ 乘以 $- 11$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 11.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $- 101$ 和 $102$ 相加。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $1$ 和 $99$ 相加。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 11.2.5.3

从 $35 \sqrt{67}$ 中减去 $3 \sqrt{67}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 32 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 11.2.5.4

从 $32 \sqrt{67}$ 中减去 $99 \sqrt{67}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $\frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$ 。

$y = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) + 2$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.1

将 $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$12 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

解题步骤 13.1.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2) \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

解题步骤 13.1.1.3

约去公因数。

$6 \cdot 2 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

解题步骤 13.1.1.4

重写表达式。

$2 (- (1 + \sqrt{67})) + 2$

解题步骤 13.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (1 + \sqrt{67}) + 2$

解题步骤 13.1.3

运用分配律。

$- 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{67} + 2$

解题步骤 13.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 2 \sqrt{67} + 2$

解题步骤 13.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0 - 2 \sqrt{67}$

解题步骤 13.2.2

从 $0$ 中减去 $2 \sqrt{67}$ 。

$- 2 \sqrt{67}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.1.1

对 $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.1.2

对 $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.3

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.1

将 $- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.4.2

从 $216$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.4.3

约去公因数。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.4.4

重写表达式。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.5

使用二项式定理。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.6.1

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.2

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.5

将 ${\sqrt{67}}^{2}$ 重写为 $67$ 。

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解题步骤 15.2.1.6.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{67}$ 重写成 $67^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.6.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.5.5

计算指数。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.6

将 $3$ 乘以 $67$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.7

将 ${\sqrt{67}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{67^{3}}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.8

对 $67$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.9

将 $300763$ 重写为 $67^{2} \cdot 67$ 。

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解题步骤 15.2.1.6.9.1

从 $300763$ 中分解出因数 $4489$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.9.2

将 $4489$ 重写为 $67^{2}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.6.10

从根式下提出各项。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.7

将 $1$ 和 $201$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 3 \sqrt{67} + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.8

将 $3 \sqrt{67}$ 和 $67 \sqrt{67}$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.9

约去 $202 + 70 \sqrt{67}$ 和 $108$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.9.1

从 $- (202 + 70 \sqrt{67})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.9.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.9.2.1

从 $108$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.9.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.9.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.11

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.11.1

对 $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.11.2

对 $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.12

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.13

将 $\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.14

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.15

将 ${(1 + \sqrt{67})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.16

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ 。

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解题步骤 15.2.1.16.1

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 + \sqrt{67}) + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.16.2

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.16.3

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.17

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.1.17.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.17.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.17.1.2

将 $\sqrt{67}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.17.1.3

将 $\sqrt{67}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.17.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67 \cdot 67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.17.1.5

将 $67$ 乘以 $67$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{4489}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.17.1.6

将 $4489$ 重写为 $67^{2}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67^{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.17.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.17.2

将 $1$ 和 $67$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + \sqrt{67} + \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.17.3

将 $\sqrt{67}$ 和 $\sqrt{67}$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.18

约去 $68 + 2 \sqrt{67}$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.18.1

从 $68$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.18.2

从 $2 \sqrt{67}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.18.3

从 $2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.18.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.18.4.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 (18)} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.18.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.18.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.19

乘以 $- 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$ 。

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解题步骤 15.2.1.19.1

将 $- 1$ 乘以 $- 11$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

解题步骤 15.2.1.19.2

组合 $11$ 和 $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 15.2.2.4

将 $\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

解题步骤 15.2.2.5

重新排序 $18 \cdot 3$ 的因式。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

解题步骤 15.2.2.6

将 $3$ 乘以 $18$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

解题步骤 15.2.2.7

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $101$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.4.3

将 $35$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.4.4

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.4.5

将 $34$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.4.6

将 $3$ 移到 $\sqrt{67}$ 的左侧。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \cdot \sqrt{67} + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.4.7

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.4.8

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.4.9

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.4.10

将 $11$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

解题步骤 15.2.4.11

将 $9$ 乘以 $11$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 15.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $- 101$ 和 $102$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 15.2.5.2

将 $1$ 和 $99$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 15.2.5.3

将 $- 35 \sqrt{67}$ 和 $3 \sqrt{67}$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 32 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 15.2.5.4

将 $- 32 \sqrt{67}$ 和 $99 \sqrt{67}$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $\frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$ 。

$y = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ 的局部极值。

$(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54})$ 是一个局部最小值

$(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}, \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54})$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例