微积分学示例

$f (x) = 4 - x^{4} y^{4}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $4 - x^{4} y^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- y^{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4} y^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

解题步骤 1.3

从 $0$ 中减去 $4 y^{4} x^{3}$ 。

$- 4 y^{4} x^{3}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 4 y^{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 y^{4} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - 4 y^{4} \frac{d}{d x} x^{3}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 4 y^{4} (3 x^{2})$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - 12 y^{4} x^{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $4 - x^{4} y^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

解题步骤 4.1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- y^{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4} y^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

解题步骤 4.1.3

从 $0$ 中减去 $4 y^{4} x^{3}$ 。

$f' (x) = - 4 y^{4} x^{3}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 y^{4} x^{3}$ 。

$- 4 y^{4} x^{3}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

解题步骤 5.2

将 $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ 中的每一项除以 $- 4 y^{4}$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ 中的每一项都除以 $- 4 y^{4}$ 。

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

解题步骤 5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $y^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

约去 $0$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$x^{3} = \frac{4 (0)}{- 4 y^{4}}$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

从 $- 4 y^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x^{3} = \frac{4 (0)}{4 (- y^{4})}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{3} = \frac{4 \cdot 0}{4 (- y^{4})}$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{3} = \frac{0}{- y^{4}}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $0$ 除以 $- y^{4}$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 5.4

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 5.4.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 y^{4} {(0)}^{2}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 12 y^{4} \cdot 0$

解题步骤 9.2

乘以 $- 12 y^{4} \cdot 0$ 。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 乘以 $- 12$ 。

$0 y^{4}$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 乘以 $y^{4}$ 。

$0$

解题步骤 10

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 11

微积分学 示例

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