微积分学示例

$f (x) = 4 x \sqrt{100 - x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{100 - x^{2}}$ 重写成 ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 100 - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $100 - x^{2}$ 。

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用 $100 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8

合并分数。

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解题步骤 1.8.1

将负号移到分数的前面。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 (x (\frac{{(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 (x (\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.9

根据加法法则， $100 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.10

因为 $100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $100$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.14

合并分数。

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解题步骤 1.14.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.14.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.14.3

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.19

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.20

约去公因数。

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解题步骤 1.20.1

从 $2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.20.2

约去公因数。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.20.3

重写表达式。

$4 (\frac{- x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.21

将负号移到分数的前面。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 1.23

将 ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.24

要将 ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.25

在公分母上合并分子。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.26

通过指数相加将 ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.26.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.26.2

在公分母上合并分子。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.26.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.26.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{1}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.27

化简 ${(100 - x^{2})}^{1}$ 。

$4 \frac{- x^{2} + 100 - x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.28

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$4 \frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.29

组合 $4$ 和 $\frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 100)}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30

化简。

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解题步骤 1.30.1

运用分配律。

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30.2

化简每一项。

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解题步骤 1.30.2.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30.2.2

将 $4$ 乘以 $100$ 。

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30.3

重新排序项。

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30.4

从 $- 8 x^{2} + 400$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 1.30.4.1

从 $- 8 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x^{2}) + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30.4.2

从 $400$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30.4.3

从 $8 (- x^{2}) + 8 (50)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x^{2} + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30.5

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x^{2}) + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30.6

将 $50$ 重写为 $- 1 (- 50)$ 。

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30.7

从 $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30.8

将 $- (x^{2} - 50)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 50)$ 。

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.30.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 50}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 50}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 50$ 且 $g (x) = {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.4

化简。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 50$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 50)) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} (- 50)) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.5.3

因为 $- 50$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 50$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $2$ 移到 ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 \cdot ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = - x^{2} + 100$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2} + 100$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.6.3

使用 $- x^{2} + 100$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.11

合并分数。

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解题步骤 2.11.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{{(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.12

根据加法法则， $- x^{2} + 100$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.13

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.15

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.16

因为 $100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $100$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.17

化简项。

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解题步骤 2.17.1

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.17.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.17.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.17.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.18

约去公因数。

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解题步骤 2.18.1

从 $2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.18.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.18.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{- x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.19

化简表达式。

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解题步骤 2.19.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.19.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + 1 (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.19.3

将 $x^{2} - 50$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.20

组合 $- 8$ 和 $\frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) \frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.21

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22

化简。

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解题步骤 2.22.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) + 8 ((x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2

化简分子。

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解题步骤 2.22.2.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) + 8 ((x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.2

将 $x^{2} - 50$ 乘以 $\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + 8 (\frac{(x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.3

组合 $8$ 和 $\frac{(x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 ((x^{2} - 50) x)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.4

要将 $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.6

以因式分解的形式重写 $\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 2.22.2.6.1

从 $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x$ 中分解出因数 $8 x$ 。

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解题步骤 2.22.2.6.1.1

从 $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $8 x$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.6.1.2

从 $8 (x^{2} - 50) x$ 中分解出因数 $8 x$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 x (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.6.1.3

从 $8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 x (x^{2} - 50)$ 中分解出因数 $8 x$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.6.2

合并指数。

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解题步骤 2.22.2.6.2.1

通过指数相加将 ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.22.2.6.2.1.1

移动 ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.6.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.6.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.6.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{2}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.6.2.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2} + 100) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.6.2.2

化简 $2 {(- x^{2} + 100)}^{1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2} + 100) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.7

化简分子。

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解题步骤 2.22.2.7.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2}) + 2 \cdot 100 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.7.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- 2 x^{2} + 2 \cdot 100 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.7.3

将 $2$ 乘以 $100$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- 2 x^{2} + 200 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.7.4

将 $- 2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- x^{2} + 200 - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.2.7.5

从 $200$ 中减去 $50$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

解题步骤 2.22.3

合并项。

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解题步骤 2.22.3.1

将 $\frac{\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - (\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 100})$

解题步骤 2.22.3.2

将 $\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{- x^{2} + 100}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 100)}$

解题步骤 2.22.3.3

通过指数相加将 ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- x^{2} + 100$ 。

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解题步骤 2.22.3.3.1

将 ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- x^{2} + 100$ 。

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解题步骤 2.22.3.3.1.1

对 $- x^{2} + 100$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 100)}$

解题步骤 2.22.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 2.22.3.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.22.3.3.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 2.22.3.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.22.4

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2}) + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.22.5

将 $150$ 重写为 $- 1 (- 150)$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.22.6

从 $- (x^{2}) - 1 (- 150)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2} - 150))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.22.7

将 $- (x^{2} - 150)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 150)$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- 1 (x^{2} - 150))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.22.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.22.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.22.10

将 $\frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{100 - x^{2}}$ 重写成 ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

$4 (x \frac{d}{d x} [{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 100 - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $100 - x^{2}$ 。

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.3

使用 $100 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.6

在公分母上合并分子。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.7

化简分子。

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解题步骤 4.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.8

合并分数。

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解题步骤 4.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 (x (\frac{{(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 (x (\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.9

根据加法法则， $100 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.10

因为 $100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $100$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.14

合并分数。

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解题步骤 4.1.14.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.14.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.14.3

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.19

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.20

约去公因数。

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解题步骤 4.1.20.1

从 $2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.20.2

约去公因数。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.20.3

重写表达式。

$4 (\frac{- x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.21

将负号移到分数的前面。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 4.1.23

将 ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.24

要将 ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.25

在公分母上合并分子。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.26

通过指数相加将 ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.26.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.26.2

在公分母上合并分子。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.26.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.26.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{1}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.27

化简 ${(100 - x^{2})}^{1}$ 。

$4 \frac{- x^{2} + 100 - x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.28

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$4 \frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.29

组合 $4$ 和 $\frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 100)}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30

化简。

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解题步骤 4.1.30.1

运用分配律。

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.30.2.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30.2.2

将 $4$ 乘以 $100$ 。

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30.3

重新排序项。

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30.4

从 $- 8 x^{2} + 400$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 4.1.30.4.1

从 $- 8 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x^{2}) + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30.4.2

从 $400$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30.4.3

从 $8 (- x^{2}) + 8 (50)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x^{2} + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30.5

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x^{2}) + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30.6

将 $50$ 重写为 $- 1 (- 50)$ 。

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30.7

从 $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30.8

将 $- (x^{2} - 50)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 50)$ 。

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.30.9

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$8 (x^{2} - 50) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

将 $8 (x^{2} - 50) = 0$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $8 (x^{2} - 50) = 0$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 (x^{2} - 50)}{8} = \frac{0}{8}$

解题步骤 5.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 (x^{2} - 50)}{8} = \frac{0}{8}$

解题步骤 5.3.1.2.1.2

用 $x^{2} - 50$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 50 = \frac{0}{8}$

解题步骤 5.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $8$ 。

$x^{2} - 50 = 0$

解题步骤 5.3.2

在等式两边都加上 $50$ 。

$x^{2} = 50$

解题步骤 5.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{50}$

解题步骤 5.3.4

化简 $\pm \sqrt{50}$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $50$ 重写为 $5^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.1

从 $50$ 中分解出因数 $25$ 。

$x = \pm \sqrt{25 (2)}$

解题步骤 5.3.4.1.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

解题步骤 5.3.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm 5 \sqrt{2}$

解题步骤 5.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 5 \sqrt{2}$

解题步骤 5.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 5 \sqrt{2}$

解题步骤 5.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 5 \sqrt{2}, - 5 \sqrt{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{{(- x^{2} + 100)}^{1}}}$

解题步骤 6.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{- x^{2} + 100}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{- x^{2} + 100}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{- x^{2} + 100} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{- x^{2} + 100}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- x^{2} + 100}$ 重写成 ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

将 ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(- x^{2} + 100)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

化简。

$- x^{2} + 100 = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- x^{2} + 100 = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

从等式两边同时减去 $100$ 。

$- x^{2} = - 100$

解题步骤 6.3.3.2

将 $- x^{2} = - 100$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $- x^{2} = - 100$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 100}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 100}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 100}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.2.3.1

用 $- 100$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 100$

解题步骤 6.3.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{100}$

解题步骤 6.3.3.4

化简 $\pm \sqrt{100}$ 。

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解题步骤 6.3.3.4.1

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

解题步骤 6.3.3.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 10$

解题步骤 6.3.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 10$

解题步骤 6.3.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 10$

解题步骤 6.3.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 10, - 10$

解题步骤 6.4

将 $\sqrt{- x^{2} + 100}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$- x^{2} + 100 < 0$

解题步骤 6.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

从不等式两边同时减去 $100$ 。

$- x^{2} < - 100$

解题步骤 6.5.2

将 $- x^{2} < - 100$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.5.2.1

将 $- x^{2} < - 100$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 100}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 100}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} > \frac{- 100}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.3.1

用 $- 100$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} > 100$

解题步骤 6.5.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{100}$

解题步骤 6.5.4

化简方程。

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解题步骤 6.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 6.5.4.1.1

从根式下提出各项。

$| x | > \sqrt{100}$

解题步骤 6.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.5.4.2.1

化简 $\sqrt{100}$ 。

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解题步骤 6.5.4.2.1.1

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$| x | > \sqrt{10^{2}}$

解题步骤 6.5.4.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | > | 10 |$

解题步骤 6.5.4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $10$ 之间的距离为 $10$ 。

$| x | > 10$

解题步骤 6.5.5

将 $| x | > 10$ 书写为分段式。

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解题步骤 6.5.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 6.5.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x > 10$

解题步骤 6.5.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 6.5.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x > 10$

解题步骤 6.5.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x > 10 & x \geq 0 \\ - x > 10 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 6.5.6

求 $x > 10$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x > 10$

解题步骤 6.5.7

将 $- x > 10$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.5.7.1

将 $- x > 10$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{10}{- 1}$

解题步骤 6.5.7.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.7.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} < \frac{10}{- 1}$

解题步骤 6.5.7.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{10}{- 1}$

解题步骤 6.5.7.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.7.3.1

用 $10$ 除以 $- 1$ 。

$x < - 10$

解题步骤 6.5.8

求解的并集。

$x < - 10$ 或 $x > 10$

解题步骤 6.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq - 10, x \geq 10$

$(- \infty, - 10] \cup [10, \infty)$

$x \leq - 10, x \geq 10$

$(- \infty, - 10] \cup [10, \infty)$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 5 \sqrt{2}, - 5 \sqrt{2}, - 10, 10$

解题步骤 8

计算在 $x = 5 \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{(8 (5 \sqrt{2})) ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

对 $5 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (5^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 9.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{1}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.3.5

计算指数。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.4

乘以 $- (25 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 9.2.1.4.1

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $50$ 。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2.2

将 $- 50$ 和 $100$ 相加。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

对 $5 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{40 \sqrt{2} (5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 9.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.4.1

约去公因数。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.4.2

重写表达式。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{1} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.5

计算指数。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.4

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$\frac{40 \sqrt{2} (50 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.5

从 $50$ 中减去 $150$ 。

$\frac{40 \sqrt{2} \cdot - 100}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3.6

将 $- 100$ 乘以 $40$ 。

$\frac{- 4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 5 \sqrt{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 5 \sqrt{2}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 5 \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $5 \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 4 (5 \sqrt{2}) \sqrt{100 - {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简表达式。

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解题步骤 11.2.1.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 11.2.1.2

对 $5 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (5^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 11.2.1.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 11.2.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 11.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 11.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 11.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 11.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.4.1

约去公因数。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 11.2.2.4.2

重写表达式。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

解题步骤 11.2.2.5

计算指数。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

解题步骤 11.2.3

乘以 $- (25 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 1 \cdot 50}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $50$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 50}$

解题步骤 11.2.4

从 $100$ 中减去 $50$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{50}$

解题步骤 11.2.5

将 $50$ 重写为 $5^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 11.2.5.1

从 $50$ 中分解出因数 $25$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{25 (2)}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

解题步骤 11.2.6

从根式下提出各项。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$

解题步骤 11.2.7

乘以 $20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 11.2.7.1

将 $5$ 乘以 $20$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \sqrt{2} \sqrt{2}$

解题步骤 11.2.7.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

解题步骤 11.2.7.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

解题步骤 11.2.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

解题步骤 11.2.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 11.2.8

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 11.2.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 11.2.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 11.2.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 11.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.8.4.1

约去公因数。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 11.2.8.4.2

重写表达式。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2$

解题步骤 11.2.8.5

计算指数。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2$

解题步骤 11.2.9

将 $100$ 乘以 $2$ 。

$f (5 \sqrt{2}) = 200$

解题步骤 11.2.10

最终答案为 $200$ 。

$y = 200$

解题步骤 12

计算在 $x = - 5 \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{(8 (- 5 \sqrt{2})) ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(- 5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(- 5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

对 $- 5 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 13.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{1}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.3.5

计算指数。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.4

乘以 $- (25 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 13.2.1.4.1

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $50$ 。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.2

将 $- 50$ 和 $100$ 相加。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.3

化简分子。

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解题步骤 13.3.1

对 $- 5 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.3.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.3.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 13.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.3.4.1

约去公因数。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.3.3.4.2

重写表达式。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{1} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.3.3.5

计算指数。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.3.4

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (50 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.3.5

从 $50$ 中减去 $150$ 。

$\frac{- 40 \sqrt{2} \cdot - 100}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.3.6

将 $- 100$ 乘以 $- 40$ 。

$\frac{4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 5 \sqrt{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 5 \sqrt{2}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = - 5 \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 5 \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = 4 (- 5 \sqrt{2}) \sqrt{100 - {(- 5 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简表达式。

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解题步骤 15.2.1.1

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - {(- 5 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- 5 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 15.2.1.3

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 15.2.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 15.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 15.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 15.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 15.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.2.4.1

约去公因数。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 15.2.2.4.2

重写表达式。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

解题步骤 15.2.2.5

计算指数。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

解题步骤 15.2.3

乘以 $- (25 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 15.2.3.1

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 1 \cdot 50}$

解题步骤 15.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $50$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 50}$

解题步骤 15.2.4

从 $100$ 中减去 $50$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{50}$

解题步骤 15.2.5

将 $50$ 重写为 $5^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 15.2.5.1

从 $50$ 中分解出因数 $25$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{25 (2)}$

解题步骤 15.2.5.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

解题步骤 15.2.6

从根式下提出各项。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$

解题步骤 15.2.7

乘以 $- 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 15.2.7.1

将 $5$ 乘以 $- 20$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \sqrt{2} \sqrt{2}$

解题步骤 15.2.7.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

解题步骤 15.2.7.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

解题步骤 15.2.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

解题步骤 15.2.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 15.2.8

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 15.2.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 15.2.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 15.2.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 15.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.8.4.1

约去公因数。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 15.2.8.4.2

重写表达式。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2$

解题步骤 15.2.8.5

计算指数。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2$

解题步骤 15.2.9

将 $- 100$ 乘以 $2$ 。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 200$

解题步骤 15.2.10

最终答案为 $- 200$ 。

$y = - 200$

解题步骤 16

计算在 $x = - 10$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- {(- 10)}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 100 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 17.1.2

将 $- 1$ 乘以 $100$ 。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- 100 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 17.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 17.2.1

将 $- 100$ 和 $100$ 相加。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 17.2.2

化简表达式。

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解题步骤 17.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 17.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 17.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.3.1

约去公因数。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 17.2.3.2

重写表达式。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{3}}$

解题步骤 17.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0}$

解题步骤 17.2.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0}$

解题步骤 17.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 18

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 19

微积分学 示例

微积分学示例