微积分学示例

$f (x) = - 413 x^{- 2} + 0.000004 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 413$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 413 x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- 413 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 2$ 乘以 $- 413$ 。

$826 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [0.000004 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $0.000004$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.000004 x$ 对 $x$ 的导数是 $0.000004 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$826 x^{- 3} + 0.000004 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$826 x^{- 3} + 0.000004 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $0.000004$ 乘以 $1$ 。

$826 x^{- 3} + 0.000004$

解题步骤 1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$826 \frac{1}{x^{3}} + 0.000004$

解题步骤 1.4.2

组合 $826$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{826}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [0.000004]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{826}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{826}{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $826$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{826}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $826 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$f'' (x) = 826 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 826 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = 826 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 826 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 826 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 826 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 826 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 826 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 826 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.2.8

将 $- 3$ 乘以 $826$ 。

$f'' (x) = - 2478 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (0.000004)$

解题步骤 2.3

因为 $0.000004$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.000004$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 2478 x^{- 4} + 0$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - 2478 \frac{1}{x^{4}} + 0$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

组合 $- 2478$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2478}{x^{4}} + 0$

解题步骤 2.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{2478}{x^{4}} + 0$

解题步骤 2.4.2.3

将 $- \frac{2478}{x^{4}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2478}{x^{4}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 413$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 413 x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- 413 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 2$ 乘以 $- 413$ 。

$826 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [0.000004 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $0.000004$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.000004 x$ 对 $x$ 的导数是 $0.000004 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$826 x^{- 3} + 0.000004 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$826 x^{- 3} + 0.000004 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $0.000004$ 乘以 $1$ 。

$826 x^{- 3} + 0.000004$

解题步骤 4.1.4

化简每一项。

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解题步骤 4.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$826 \frac{1}{x^{3}} + 0.000004$

解题步骤 4.1.4.2

组合 $826$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$ 。

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $0.000004$ 。

$\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$

解题步骤 5.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{3}, 1$

解题步骤 5.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{3}$

解题步骤 5.4

将 $\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 。

$\frac{826}{x^{3}} x^{3} = - 0.000004 x^{3}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{826}{x^{3}} x^{3} = - 0.000004 x^{3}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$826 = - 0.000004 x^{3}$

解题步骤 5.5

求解方程。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $- 0.000004 x^{3} = 826$ 。

$- 0.000004 x^{3} = 826$

解题步骤 5.5.2

从等式两边同时减去 $826$ 。

$- 0.000004 x^{3} - 826 = 0$

解题步骤 5.5.3

从 $- 0.000004 x^{3} - 826$ 中分解出因数 $- 0.000004$ 。

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解题步骤 5.5.3.1

从 $- 0.000004 x^{3}$ 中分解出因数 $- 0.000004$ 。

$- 0.000004 x^{3} - 826 = 0$

解题步骤 5.5.3.2

从 $- 826$ 中分解出因数 $- 0.000004$ 。

$- 0.000004 x^{3} - 0.000004 \cdot 206500000 = 0$

解题步骤 5.5.3.3

从 $- 0.000004 (x^{3}) - 0.000004 (206500000)$ 中分解出因数 $- 0.000004$ 。

$- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$

解题步骤 5.5.4

将 $- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$ 中的每一项除以 $- 0.000004$ 并化简。

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解题步骤 5.5.4.1

将 $- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$ 中的每一项都除以 $- 0.000004$ 。

$\frac{- 0.000004 (x^{3} + 206500000)}{- 0.000004} = \frac{0}{- 0.000004}$

解题步骤 5.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.4.2.1

约去 $- 0.000004$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 0.000004 (x^{3} + 206500000)}{- 0.000004} = \frac{0}{- 0.000004}$

解题步骤 5.5.4.2.1.2

用 $x^{3} + 206500000$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + 206500000 = \frac{0}{- 0.000004}$

解题步骤 5.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.4.3.1

用 $0$ 除以 $- 0.000004$ 。

$x^{3} + 206500000 = 0$

解题步骤 5.5.5

从等式两边同时减去 $206500000$ 。

$x^{3} = - 206500000$

解题步骤 5.5.6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{- 206500000}$

解题步骤 5.5.7

化简 $\sqrt[3]{- 206500000}$ 。

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解题步骤 5.5.7.1

将 $- 206500000$ 重写为 ${(- 50)}^{3} \cdot 1652$ 。

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解题步骤 5.5.7.1.1

从 $- 206500000$ 中分解出因数 $- 125000$ 。

$x = \sqrt[3]{- 125000 (1652)}$

解题步骤 5.5.7.1.2

将 $- 125000$ 重写为 ${(- 50)}^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{{(- 50)}^{3} \cdot 1652}$

解题步骤 5.5.7.2

从根式下提出各项。

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{826}{x^{3}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$

解题步骤 8

计算在 $x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2478}{{(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{4}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分母。

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解题步骤 9.1.1

对 $- 50 \sqrt[3]{1652}$ 运用乘积法则。

$- \frac{2478}{{(- 50)}^{4} {\sqrt[3]{1652}}^{4}}$

解题步骤 9.1.2

对 $- 50$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{2478}{6250000 {\sqrt[3]{1652}}^{4}}$

解题步骤 9.1.3

将 ${\sqrt[3]{1652}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[3]{1652^{4}}$ 。

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{1652^{4}}}$

解题步骤 9.1.4

对 $1652$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{7448008642816}}$

解题步骤 9.1.5

将 $7448008642816$ 重写为 $1652^{3} \cdot 1652$ 。

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解题步骤 9.1.5.1

从 $7448008642816$ 中分解出因数 $4508479808$ 。

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{4508479808 (1652)}}$

解题步骤 9.1.5.2

将 $4508479808$ 重写为 $1652^{3}$ 。

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{1652^{3} \cdot 1652}}$

解题步骤 9.1.6

从根式下提出各项。

$- \frac{2478}{6250000 \cdot 1652 \sqrt[3]{1652}}$

解题步骤 9.1.7

将 $6250000$ 乘以 $1652$ 。

$- \frac{2478}{10325000000 \sqrt[3]{1652}}$

解题步骤 9.2

约去 $2478$ 和 $10325000000$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $2478$ 中分解出因数 $826$ 。

$- \frac{826 (3)}{10325000000 \sqrt[3]{1652}}$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $10325000000 \sqrt[3]{1652}$ 中分解出因数 $826$ 。

$- \frac{826 (3)}{826 (12500000 \sqrt[3]{1652})}$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{826 \cdot 3}{826 (12500000 \sqrt[3]{1652})}$

解题步骤 9.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$

解题步骤 9.3

将 $\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}$ 。

$- (\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}})$

解题步骤 9.4

合并和化简分母。

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解题步骤 9.4.1

将 $\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}$ 。

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \sqrt[3]{1652} {\sqrt[3]{1652}}^{2}}$

解题步骤 9.4.2

移动 $\sqrt[3]{1652}$ 。

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 (\sqrt[3]{1652} {\sqrt[3]{1652}}^{2})}$

解题步骤 9.4.3

对 $\sqrt[3]{1652}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 ({\sqrt[3]{1652}}^{1} {\sqrt[3]{1652}}^{2})}$

解题步骤 9.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {\sqrt[3]{1652}}^{1 + 2}}$

解题步骤 9.4.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {\sqrt[3]{1652}}^{3}}$

解题步骤 9.4.6

将 ${\sqrt[3]{1652}}^{3}$ 重写为 $1652$ 。

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解题步骤 9.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{1652}$ 重写成 $1652^{\frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {(1652^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 9.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 9.4.6.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 9.4.6.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 9.4.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{1}}$

解题步骤 9.4.6.5

计算指数。

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652}$

解题步骤 9.5

化简分子。

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解题步骤 9.5.1

将 ${\sqrt[3]{1652}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{1652^{2}}$ 。

$- \frac{3 \sqrt[3]{1652^{2}}}{12500000 \cdot 1652}$

解题步骤 9.5.2

对 $1652$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{3 \sqrt[3]{2729104}}{12500000 \cdot 1652}$

解题步骤 9.5.3

将 $2729104$ 重写为 $2^{3} \cdot 341138$ 。

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解题步骤 9.5.3.1

从 $2729104$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{3 \sqrt[3]{8 (341138)}}{12500000 \cdot 1652}$

解题步骤 9.5.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$- \frac{3 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 341138}}{12500000 \cdot 1652}$

解题步骤 9.5.4

从根式下提出各项。

$- \frac{3 \cdot 2 \sqrt[3]{341138}}{12500000 \cdot 1652}$

解题步骤 9.5.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{6 \sqrt[3]{341138}}{12500000 \cdot 1652}$

解题步骤 9.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.6.1

将 $12500000$ 乘以 $1652$ 。

$- \frac{6 \sqrt[3]{341138}}{20650000000}$

解题步骤 9.6.2

约去 $6$ 和 $20650000000$ 的公因数。

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解题步骤 9.6.2.1

从 $6 \sqrt[3]{341138}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{20650000000}$

解题步骤 9.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.6.2.2.1

从 $20650000000$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{2 (10325000000)}$

解题步骤 9.6.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{2 \cdot 10325000000}$

解题步骤 9.6.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{3 \sqrt[3]{341138}}{10325000000}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- 50 \sqrt[3]{1652}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 {(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{- 2} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{{(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1.2.1

对 $- 50 \sqrt[3]{1652}$ 运用乘积法则。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{{(- 50)}^{2} {\sqrt[3]{1652}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.2.2

对 $- 50$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 {\sqrt[3]{1652}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.2.3

将 ${\sqrt[3]{1652}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{1652^{2}}$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{1652^{2}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.2.4

对 $1652$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{2729104}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.2.5

将 $2729104$ 重写为 $2^{3} \cdot 341138$ 。

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解题步骤 11.2.1.2.5.1

从 $2729104$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{8 (341138)}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.2.5.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 341138}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.2.6

从根式下提出各项。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \cdot (2 \sqrt[3]{341138})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.2.7

将 $2500$ 乘以 $2$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.3

将 $\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 (\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 11.2.1.4.1

将 $\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.4.2

移动 $\sqrt[3]{341138}$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 (\sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.4.3

对 $\sqrt[3]{341138}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 (\sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {\sqrt[3]{341138}}^{1 + 2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.4.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {\sqrt[3]{341138}}^{3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.4.6

将 ${\sqrt[3]{341138}}^{3}$ 重写为 $341138$ 。

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解题步骤 11.2.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{341138}$ 重写成 $341138^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {(341138^{\frac{1}{3}})}^{3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{1}{3} \cdot 3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{3}{3}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.4.6.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.6.4.1

约去公因数。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{3}{3}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.4.6.4.2

重写表达式。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.4.6.5

计算指数。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.5

化简分子。

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解题步骤 11.2.1.5.1

将 ${\sqrt[3]{341138}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{341138^{2}}$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{341138^{2}}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.5.2

对 $341138$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{116375135044}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.5.3

将 $116375135044$ 重写为 $413^{3} \cdot 1652$ 。

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解题步骤 11.2.1.5.3.1

从 $116375135044$ 中分解出因数 $70444997$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{70444997 (1652)}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.5.3.2

将 $70444997$ 重写为 $413^{3}$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{413^{3} \cdot 1652}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.5.4

从根式下提出各项。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.6

将 $5000$ 乘以 $341138$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{1705690000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.7

约去 $413$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.7.1

从 $- 413$ 中分解出因数 $413$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 (- 1) (\frac{413 \sqrt[3]{1652}}{1705690000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.7.2

从 $1705690000$ 中分解出因数 $413$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 \cdot (- 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 4130000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.7.3

约去公因数。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 \cdot (- 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 4130000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.7.4

重写表达式。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{4130000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.8

约去 $413$ 和 $4130000$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.8.1

从 $413 \sqrt[3]{1652}$ 中分解出因数 $413$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 (\sqrt[3]{1652})}{4130000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.1.8.2.1

从 $4130000$ 中分解出因数 $413$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.8.2.2

约去公因数。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.8.2.3

重写表达式。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.9

将 $- 1 \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ 重写为 $- \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

解题步骤 11.2.1.10

乘以 $0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$ 。

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解题步骤 11.2.1.10.1

将 $- 50$ 乘以 $0.000004$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} - 0.0002 \sqrt[3]{1652}$

解题步骤 11.2.1.10.2

将 $- 0.0002$ 乘以 $\sqrt[3]{1652}$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} - 0.00236428$

解题步骤 11.2.2

从 $- \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ 中减去 $0.00236428$ 。

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 0.00354642$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 0.00354642$ 。

$y = - 0.00354642$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = - 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ 的局部极值。

$(- 50 \sqrt[3]{1652}, - 0.00354642)$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例