微积分学示例

$f (x) = 4 x + \ln (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 x + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$4 + \frac{1}{x}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$\frac{1}{x} + 4$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{1}{x} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} + 0$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{1}{x} + 4 = 0$

解题步骤 4

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 5

不存在局部极值

解题步骤 6

微积分学 示例

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