微积分学示例

$f (x) = 7 x \sqrt{3 - x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 - x}$ 重写成 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 (x \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 3 - x$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 - x$ 。

$7 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$7 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用 $3 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8

合并分数。

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解题步骤 1.8.1

将负号移到分数的前面。

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$7 (x (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$7 (x (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x] + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.9

根据加法法则， $3 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.14

合并分数。

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解题步骤 1.14.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.14.2

组合 $\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 1$ 。

$7 (\frac{x \cdot - 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.14.3

化简表达式。

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解题步骤 1.14.3.1

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$7 (\frac{- 1 \cdot x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.14.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$7 (\frac{- x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.14.3.3

将负号移到分数的前面。

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 1.16

将 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.17

要将 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.18

组合 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.19

在公分母上合并分子。

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.20

通过指数相加将 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.20.1

移动 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.20.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.20.3

在公分母上合并分子。

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.20.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.20.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.21

化简表达式。

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解题步骤 1.21.1

化简 ${(3 - x)}^{1} \cdot 2$ 。

$7 \frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.21.2

将 $2$ 移到 $3 - x$ 的左侧。

$7 \frac{- x + 2 \cdot (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.22

组合 $7$ 和 $\frac{- x + 2 (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{7 (- x + 2 (3 - x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23

化简。

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解题步骤 1.23.1

运用分配律。

$\frac{7 (- x + 2 \cdot 3 + 2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.2

运用分配律。

$\frac{7 (- x) + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.3

化简分子。

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解题步骤 1.23.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.23.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- 7 x + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.3.1.2

乘以 $7 (2 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 1.23.3.1.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 7 x + 7 \cdot 6 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.3.1.2.2

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 7 x + 42 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 7 x + 42 + 7 (- 2 x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- 7 x + 42 - 14 x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.3.2

从 $- 7 x$ 中减去 $14 x$ 。

$\frac{- 21 x + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.4

从 $- 21 x + 42$ 中分解出因数 $21$ 。

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解题步骤 1.23.4.1

从 $- 21 x$ 中分解出因数 $21$ 。

$\frac{21 (- x) + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.4.2

从 $42$ 中分解出因数 $21$ 。

$\frac{21 (- x) + 21 (2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.4.3

从 $21 (- x) + 21 (2)$ 中分解出因数 $21$ 。

$\frac{21 (- x + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.5

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{21 (- (x) + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.6

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{21 (- (x) - 1 (- 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.7

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{21 (- (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.8

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{21 (- 1 (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.23.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- \frac{21}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{21}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 2$ 且 $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

解题步骤 2.4

化简。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

解题步骤 2.5.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

解题步骤 2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

解题步骤 2.5.4.2

将 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 3 - x$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 - x$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

解题步骤 2.6.3

使用 $3 - x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

解题步骤 2.11

合并分数。

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解题步骤 2.11.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

解题步骤 2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

解题步骤 2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

解题步骤 2.12

根据加法法则， $3 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

解题步骤 2.13

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

解题步骤 2.14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{3 - x}$

解题步骤 2.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{3 - x}$

解题步骤 2.16

乘。

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解题步骤 2.16.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

解题步骤 2.16.2

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

解题步骤 2.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{3 - x}$

解题步骤 2.18

合并分数。

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解题步骤 2.18.1

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{3 - x}$

解题步骤 2.18.2

将 $\frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 - x}$ 乘以 $\frac{21}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})) \cdot 21}{(3 - x) \cdot 2}$

解题步骤 2.18.3

重新排序。

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解题步骤 2.18.3.1

将 $21$ 移到 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{21 \cdot ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{(3 - x) \cdot 2}$

解题步骤 2.18.3.2

将 $2$ 移到 $3 - x$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot (3 - x)}$

解题步骤 2.19

化简。

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解题步骤 2.19.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 21 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (3 - x)}$

解题步骤 2.19.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 21 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3

化简分子。

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解题步骤 2.19.3.1

从 $21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 21 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $21$ 。

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解题步骤 2.19.3.1.1

从 $21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $21$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 21 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.1.2

从 $21 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $21$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 21 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.1.3

从 $21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 21 ((x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $21$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.2

使 $u_{2} = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.19.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 u_{2} u_{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.2.2

通过指数相加将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

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解题步骤 2.19.3.2.2.1

移动 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.2.2.2

将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.3

使用 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.4

化简。

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解题步骤 2.19.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.19.3.4.1.1

将 ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.19.3.4.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.4.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.19.3.4.1.1.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.4.1.1.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.4.1.2

化简。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.4.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 \cdot 3 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.4.1.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{6 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{6 - 2 x + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.4.2

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{- 2 x + x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.3.4.3

将 $- 2 x$ 和 $x$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.4

合并项。

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解题步骤 2.19.4.1

组合 $21$ 和 $\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.19.4.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$

解题步骤 2.19.4.4

将 $\frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - (\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 - 2 x})$

解题步骤 2.19.4.5

将 $\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{6 - 2 x}$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (6 - 2 x)}$

解题步骤 2.19.5

化简分母。

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解题步骤 2.19.5.1

从 $6 - 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.19.5.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) - 2 x)}$

解题步骤 2.19.5.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) + 2 (- x))}$

解题步骤 2.19.5.1.3

从 $2 (3) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (3 - x))}$

解题步骤 2.19.5.2

合并指数。

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解题步骤 2.19.5.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 - x)}$

解题步骤 2.19.5.2.2

对 $3 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 ((3 - x) {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.19.5.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.19.5.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.19.5.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 2.19.5.2.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.19.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (- (x) + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.19.7

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (- (x) - 1 \cdot - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.19.8

从 $- (x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (- (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.19.9

将 $- (x - 4)$ 重写为 $- 1 (x - 4)$ 。

$f'' (x) = - \frac{21 (- 1 (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.19.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.19.11

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.19.12

将 $\frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 - x}$ 重写成 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.1.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.2

$f' (x) = 7 (x \frac{d}{d x} ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 3 - x$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 - x$ 。

$f' (x) = 7 (x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.3.3

使用 $3 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.6

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.7

化简分子。

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解题步骤 4.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.8

合并分数。

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解题步骤 4.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 7 (x (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.9

根据加法法则， $3 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.14

合并分数。

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解题步骤 4.1.14.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.14.2

组合 $\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 1$ 。

$f' (x) = 7 (\frac{x \cdot - 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.14.3

化简表达式。

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解题步骤 4.1.14.3.1

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = 7 (\frac{- 1 \cdot x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.14.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f' (x) = 7 (\frac{- x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.14.3.3

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 4.1.16

将 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.17

要将 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.18

组合 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.19

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.20

通过指数相加将 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.20.1

移动 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.20.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.20.3

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.20.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.20.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (x) = 7 (\frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.21

化简表达式。

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解题步骤 4.1.21.1

化简 ${(3 - x)}^{1} \cdot 2$ 。

$f' (x) = 7 (\frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.21.2

将 $2$ 移到 $3 - x$ 的左侧。

$f' (x) = 7 (\frac{- x + 2 \cdot (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.22

组合 $7$ 和 $\frac{- x + 2 (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{7 (- x + 2 (3 - x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23

化简。

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解题步骤 4.1.23.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{7 (- x + 2 \cdot 3 + 2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{7 (- x) + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.3

化简分子。

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解题步骤 4.1.23.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.23.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$f' (x) = \frac{- 7 x + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.3.1.2

乘以 $7 (2 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 4.1.23.3.1.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{- 7 x + 7 \cdot 6 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.3.1.2.2

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$f' (x) = \frac{- 7 x + 42 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{- 7 x + 42 + 7 (- 2 x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$f' (x) = \frac{- 7 x + 42 - 14 x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.3.2

从 $- 7 x$ 中减去 $14 x$ 。

$f' (x) = \frac{- 21 x + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.4

从 $- 21 x + 42$ 中分解出因数 $21$ 。

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解题步骤 4.1.23.4.1

从 $- 21 x$ 中分解出因数 $21$ 。

$f' (x) = \frac{21 (- x) + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.4.2

从 $42$ 中分解出因数 $21$ 。

$f' (x) = \frac{21 (- x) + 21 (2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.4.3

从 $21 (- x) + 21 (2)$ 中分解出因数 $21$ 。

$f' (x) = \frac{21 (- x + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.5

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{21 (- (x) + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.6

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$f' (x) = \frac{21 (- (x) - 1 \cdot - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.7

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{21 (- (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.8

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$f' (x) = \frac{21 (- 1 (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.23.9

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$21 (x - 2) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

将 $21 (x - 2) = 0$ 中的每一项除以 $21$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $21 (x - 2) = 0$ 中的每一项都除以 $21$ 。

$\frac{21 (x - 2)}{21} = \frac{0}{21}$

解题步骤 5.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.2.1

约去 $21$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{21 (x - 2)}{21} = \frac{0}{21}$

解题步骤 5.3.1.2.1.2

用 $x - 2$ 除以 $1$ 。

$x - 2 = \frac{0}{21}$

解题步骤 5.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $21$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{21 (x - 2)}{2 \sqrt{{(3 - x)}^{1}}}$

解题步骤 6.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- \frac{21 (x - 2)}{2 \sqrt{3 - x}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{21 (x - 2)}{2 \sqrt{3 - x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{3 - x} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{3 - x})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 - x}$ 重写成 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${(2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

对 $2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3

将 ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(3 - x)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.4

化简。

$4 (3 - x) = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.5

运用分配律。

$4 \cdot 3 + 4 (- x) = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.6

乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.6.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 + 4 (- x) = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$12 - 4 x = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 - 4 x = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

从等式两边同时减去 $12$ 。

$- 4 x = - 12$

解题步骤 6.3.3.2

将 $- 4 x = - 12$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $- 4 x = - 12$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

解题步骤 6.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

解题步骤 6.3.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 12}{- 4}$

解题步骤 6.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.2.3.1

用 $- 12$ 除以 $- 4$ 。

$x = 3$

解题步骤 6.4

将 $\sqrt{3 - x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 - x < 0$

解题步骤 6.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

从不等式两边同时减去 $3$ 。

$- x < - 3$

解题步骤 6.5.2

将 $- x < - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.5.2.1

将 $- x < - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} > \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x > \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.3.1

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$x > 3$

解题步骤 6.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \geq 3$

$[3, \infty)$

$x \geq 3$

$[3, \infty)$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 2, 3$

解题步骤 8

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{21 ((2) - 4)}{4 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

从 $21 ((2) - 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (21 (1 - 2))}{4 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $4 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (21 (1 - 2))}{2 (2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (21 (1 - 2))}{2 (2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 9.2.3

重写表达式。

$\frac{21 (1 - 2)}{2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{21 \cdot - 1}{2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.4

化简分母。

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解题步骤 9.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{21 \cdot - 1}{2 {(3 - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.4.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{21 \cdot - 1}{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.4.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{21 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5

化简表达式。

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解题步骤 9.5.1

将 $21$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 21}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 21}{2}$

解题步骤 9.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{21}{2}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = 7 (2) \sqrt{3 - (2)}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 14 \sqrt{3 - (2)}$

解题步骤 11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 14 \sqrt{3 - 2}$

解题步骤 11.2.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f (2) = 14 \sqrt{1}$

解题步骤 11.2.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (2) = 14 \cdot 1$

解题步骤 11.2.5

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$f (2) = 14$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $14$ 。

$y = 14$

解题步骤 12

计算在 $x = 3$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 {(3 - (3))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简表达式。

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解题步骤 13.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 {(3 - 3)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.1.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.1.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 13.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 13.3

化简表达式。

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解题步骤 13.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0}$

解题步骤 13.3.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{21 ((3) - 4)}{0}$

解题步骤 13.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{21 ((3) - 4)}{0}$

解题步骤 13.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 14

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例