微积分学示例

$f (x) = 6 x^{15} - 9 x^{3} + 1$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $6 x^{15} - 9 x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{15}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{15}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{15}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 15$ 。

$6 (15 x^{14}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.3

将 $15$ 乘以 $6$ 。

$90 x^{14} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$90 x^{14} - 9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$90 x^{14} - 9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 9$ 。

$90 x^{14} - 27 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$90 x^{14} - 27 x^{2} + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $90 x^{14} - 27 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$90 x^{14} - 27 x^{2}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $90 x^{14} - 27 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [90 x^{14}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (90 x^{14}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [90 x^{14}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $90$ 对于 $x$ 是常数，所以 $90 x^{14}$ 对 $x$ 的导数是 $90 \frac{d}{d x} [x^{14}]$ 。

$f'' (x) = 90 \frac{d}{d x} (x^{14}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 14$ 。

$f'' (x) = 90 (14 x^{13}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2})$

解题步骤 2.2.3

将 $14$ 乘以 $90$ 。

$f'' (x) = 1260 x^{13} + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 27 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 1260 x^{13} - 27 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 1260 x^{13} - 27 (2 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 27$ 。

$f'' (x) = 1260 x^{13} - 54 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$90 x^{14} - 27 x^{2} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $6 x^{15} - 9 x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{15}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{15}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{15}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 15$ 。

$6 (15 x^{14}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $15$ 乘以 $6$ 。

$90 x^{14} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$90 x^{14} - 9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$90 x^{14} - 9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 9$ 。

$90 x^{14} - 27 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$90 x^{14} - 27 x^{2} + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $90 x^{14} - 27 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 90 x^{14} - 27 x^{2}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $90 x^{14} - 27 x^{2}$ 。

$90 x^{14} - 27 x^{2}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $90 x^{14} - 27 x^{2} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$90 x^{14} - 27 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2

从 $90 x^{14} - 27 x^{2}$ 中分解出因数 $9 x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从 $90 x^{14}$ 中分解出因数 $9 x^{2}$ 。

$9 x^{2} (10 x^{12}) - 27 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- 27 x^{2}$ 中分解出因数 $9 x^{2}$ 。

$9 x^{2} (10 x^{12}) + 9 x^{2} (- 3) = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $9 x^{2} (10 x^{12}) + 9 x^{2} (- 3)$ 中分解出因数 $9 x^{2}$ 。

$9 x^{2} (10 x^{12} - 3) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$10 x^{12} - 3 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $10 x^{12} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将 $10 x^{12} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$10 x^{12} - 3 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $10 x^{12} - 3 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$10 x^{12} = 3$

解题步骤 5.5.2.2

将 $10 x^{12} = 3$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.2.1

将 $10 x^{12} = 3$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 x^{12}}{10} = \frac{3}{10}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $10$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 x^{12}}{10} = \frac{3}{10}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $x^{12}$ 除以 $1$ 。

$x^{12} = \frac{3}{10}$

解题步骤 5.5.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[12]{\frac{3}{10}}$

解题步骤 5.5.2.4

将 $\sqrt[12]{\frac{3}{10}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

解题步骤 5.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

解题步骤 5.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

解题步骤 5.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $9 x^{2} (10 x^{12} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$1260 {(0)}^{13} - 54 \cdot 0$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1260 \cdot 0 - 54 \cdot 0$

解题步骤 9.1.2

将 $1260$ 乘以 $0$ 。

$0 - 54 \cdot 0$

解题步骤 9.1.3

将 $- 54$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}) \cup (- \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}) \cup (\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}})$ 内的任一数字（例如 $- 3$ ）代入一阶导数 $90 x^{14} - 27 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = 90 {(- 3)}^{14} - 27 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $14$ 次方运算。

$f' (- 3) = 90 \cdot 4782969 - 27 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $90$ 乘以 $4782969$ 。

$f' (- 3) = 430467210 - 27 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = 430467210 - 27 \cdot 9$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $- 27$ 乘以 $9$ 。

$f' (- 3) = 430467210 - 243$

解题步骤 10.2.2.2

从 $430467210$ 中减去 $243$ 。

$f' (- 3) = 430466967$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $430466967$ 。

$430466967$

解题步骤 10.3

将区间 $(- \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 0.45$ ）代入一阶导数 $90 x^{14} - 27 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $- 0.45$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.45) = 90 {(- 0.45)}^{14} - 27 {(- 0.45)}^{2}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.1.1

对 $- 0.45$ 进行 $14$ 次方运算。

$f' (- 0.45) = 90 \cdot 0.00001396 - 27 {(- 0.45)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $90$ 乘以 $0.00001396$ 。

$f' (- 0.45) = 0.00125665 - 27 {(- 0.45)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.3

对 $- 0.45$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 0.45) = 0.00125665 - 27 \cdot 0.2025$

解题步骤 10.3.2.1.4

将 $- 27$ 乘以 $0.2025$ 。

$f' (- 0.45) = 0.00125665 - 5.4675$

解题步骤 10.3.2.2

从 $0.00125665$ 中减去 $5.4675$ 。

$f' (- 0.45) = - 5.46624334$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $- 5.46624334$ 。

$- 5.46624334$

解题步骤 10.4

将区间 $(0, \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}})$ 内的任一数字（例如 $0.45$ ）代入一阶导数 $90 x^{14} - 27 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $0.45$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.45) = 90 {(0.45)}^{14} - 27 {(0.45)}^{2}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.2.1.1

对 $0.45$ 进行 $14$ 次方运算。

$f' (0.45) = 90 \cdot 0.00001396 - 27 {(0.45)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $90$ 乘以 $0.00001396$ 。

$f' (0.45) = 0.00125665 - 27 {(0.45)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.3

对 $0.45$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0.45) = 0.00125665 - 27 \cdot 0.2025$

解题步骤 10.4.2.1.4

将 $- 27$ 乘以 $0.2025$ 。

$f' (0.45) = 0.00125665 - 5.4675$

解题步骤 10.4.2.2

从 $0.00125665$ 中减去 $5.4675$ 。

$f' (0.45) = - 5.46624334$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $- 5.46624334$ 。

$- 5.46624334$

解题步骤 10.5

将区间 $(\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $90 x^{14} - 27 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = 90 {(3)}^{14} - 27 {(3)}^{2}$

解题步骤 10.5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.2.1.1

对 $3$ 进行 $14$ 次方运算。

$f' (3) = 90 \cdot 4782969 - 27 {(3)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.2

将 $90$ 乘以 $4782969$ 。

$f' (3) = 430467210 - 27 {(3)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = 430467210 - 27 \cdot 9$

解题步骤 10.5.2.1.4

将 $- 27$ 乘以 $9$ 。

$f' (3) = 430467210 - 243$

解题步骤 10.5.2.2

从 $430467210$ 中减去 $243$ 。

$f' (3) = 430466967$

解题步骤 10.5.2.3

最终答案为 $430466967$ 。

$430466967$

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ 是极大值。

$x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ 是一个极大值

解题步骤 10.7

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.8

由于一阶导数在 $x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ 是极小值。

$x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ 是一个极小值

解题步骤 10.9

这些是 $f (x) = 6 x^{15} - 9 x^{3} + 1$ 的局部极值。

$x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ 是一个极大值

$x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ 是一个极小值

$x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ 是一个极大值

$x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例