微积分学示例

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $5 x + \cos (2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

解题步骤 1.2.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 1$ 。

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 1.3.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 1.3.1.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

解题步骤 1.3.7

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

解题步骤 1.3.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

解题步骤 2.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 1$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 2.2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 2.2.3

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

解题步骤 2.2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

解题步骤 2.2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

解题步骤 2.2.8

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

解题步骤 2.2.9

将 $2$ 移到 $\cos (2 x + 1)$ 的左侧。

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

解题步骤 2.2.10

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

解题步骤 2.3

从 $0$ 中减去 $4 \cos (2 x + 1)$ 。

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

解题步骤 5

将 $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $\sin (2 x + 1)$ 除以 $1$ 。

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

解题步骤 6

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $\frac{5}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 7

计算在 $x =$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 \cos (2 + 1)$

解题步骤 8

计算二阶导数。

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解题步骤 8.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 4 \cos (3)$

解题步骤 8.2

计算 $\cos (3)$ 。

$- 4 \cdot 0.99862953$

解题步骤 8.3

将 $- 4$ 乘以 $0.99862953$ 。

$- 3.99451813$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为负数，所以 $x =$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x =$ 是一个极大值

解题步骤 10

这些是 $f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ 的局部极值。

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ 是一个局部最大值

解题步骤 11

微积分学 示例

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