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微积分学 示例
解题步骤 1
解题步骤 1.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 1.2
计算 。
解题步骤 1.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.2.2
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 1.2.2.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 1.2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.2.2.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 1.2.3
对 的导数为 。
解题步骤 1.2.4
将 乘以 。
解题步骤 1.2.5
将 乘以 。
解题步骤 1.3
计算 。
解题步骤 1.3.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.3.2
对 的导数为 。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.2
计算 。
解题步骤 2.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.2.2
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.2.3
对 的导数为 。
解题步骤 2.2.4
对 的导数为 。
解题步骤 2.2.5
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.2.6
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.2.7
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.2.8
将 和 相加。
解题步骤 2.2.9
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.2.10
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.2.11
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.2.12
将 和 相加。
解题步骤 2.3
计算 。
解题步骤 2.3.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.3.2
对 的导数为 。
解题步骤 2.3.3
将 乘以 。
解题步骤 2.4
化简。
解题步骤 2.4.1
运用分配律。
解题步骤 2.4.2
将 乘以 。
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 4.1.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 4.1.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 4.1.3
从 中分解出因数 。
解题步骤 4.2
将 重写为 。
解题步骤 5
如果等式左侧的任一因数等于 ,则整个表达式将等于 。
解题步骤 6
解题步骤 6.1
将 设为等于 。
解题步骤 6.2
求解 的 。
解题步骤 6.2.1
取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 。
解题步骤 6.2.2
化简右边。
解题步骤 6.2.2.1
的准确值为 。
解题步骤 6.2.3
余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解,从 中减去参考角即可求出第四象限中的解。
解题步骤 6.2.4
化简 。
解题步骤 6.2.4.1
要将 写成带有公分母的分数,请乘以 。
解题步骤 6.2.4.2
合并分数。
解题步骤 6.2.4.2.1
组合 和 。
解题步骤 6.2.4.2.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 6.2.4.3
化简分子。
解题步骤 6.2.4.3.1
将 乘以 。
解题步骤 6.2.4.3.2
从 中减去 。
解题步骤 6.2.5
方程 的解。
解题步骤 7
解题步骤 7.1
将 设为等于 。
解题步骤 7.2
求解 的 。
解题步骤 7.2.1
在等式两边都加上 。
解题步骤 7.2.2
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 7.2.2.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 7.2.2.2
化简左边。
解题步骤 7.2.2.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 7.2.2.2.2
用 除以 。
解题步骤 7.2.2.3
化简右边。
解题步骤 7.2.2.3.1
用 除以 。
解题步骤 7.2.3
取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 。
解题步骤 7.2.4
化简右边。
解题步骤 7.2.4.1
的准确值为 。
解题步骤 7.2.5
正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解,可从 减去这个解,从而求参考角。接着,将该参考角和 相加以求第三象限中的解。
解题步骤 7.2.6
化简表达式以求第二个解。
解题步骤 7.2.6.1
从 中减去 。
解题步骤 7.2.6.2
得出的角 是正角度,比 小,且与 共边。
解题步骤 7.2.7
方程 的解。
解题步骤 8
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 9
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 10
解题步骤 10.1
化简每一项。
解题步骤 10.1.1
的准确值为 。
解题步骤 10.1.2
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 10.1.3
将 乘以 。
解题步骤 10.1.4
的准确值为 。
解题步骤 10.1.5
一的任意次幂都为一。
解题步骤 10.1.6
将 乘以 。
解题步骤 10.1.7
的准确值为 。
解题步骤 10.1.8
将 乘以 。
解题步骤 10.2
通过加上各数进行化简。
解题步骤 10.2.1
将 和 相加。
解题步骤 10.2.2
将 和 相加。
解题步骤 11
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 12
解题步骤 12.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 12.2
化简结果。
解题步骤 12.2.1
化简每一项。
解题步骤 12.2.1.1
的准确值为 。
解题步骤 12.2.1.2
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 12.2.1.3
将 乘以 。
解题步骤 12.2.1.4
的准确值为 。
解题步骤 12.2.1.5
将 乘以 。
解题步骤 12.2.2
从 中减去 。
解题步骤 12.2.3
最终答案为 。
解题步骤 13
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 14
解题步骤 14.1
化简每一项。
解题步骤 14.1.1
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。
解题步骤 14.1.2
的准确值为 。
解题步骤 14.1.3
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 14.1.4
将 乘以 。
解题步骤 14.1.5
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为正弦在第四象限为负。
解题步骤 14.1.6
的准确值为 。
解题步骤 14.1.7
将 乘以 。
解题步骤 14.1.8
对 进行 次方运算。
解题步骤 14.1.9
将 乘以 。
解题步骤 14.1.10
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为正弦在第四象限为负。
解题步骤 14.1.11
的准确值为 。
解题步骤 14.1.12
乘以 。
解题步骤 14.1.12.1
将 乘以 。
解题步骤 14.1.12.2
将 乘以 。
解题步骤 14.2
通过相加和相减进行化简。
解题步骤 14.2.1
将 和 相加。
解题步骤 14.2.2
从 中减去 。
解题步骤 15
解题步骤 15.1
根据使一阶导数为 或无意义的 值,将 分割为不同的区间。
解题步骤 15.2
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
解题步骤 15.2.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 15.2.2
化简结果。
解题步骤 15.2.2.1
化简每一项。
解题步骤 15.2.2.1.1
计算 。
解题步骤 15.2.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 15.2.2.1.3
计算 。
解题步骤 15.2.2.1.4
将 乘以 。
解题步骤 15.2.2.1.5
计算 。
解题步骤 15.2.2.1.6
将 乘以 。
解题步骤 15.2.2.2
将 和 相加。
解题步骤 15.2.2.3
最终答案为 。
解题步骤 15.3
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
解题步骤 15.3.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 15.3.2
化简结果。
解题步骤 15.3.2.1
化简每一项。
解题步骤 15.3.2.1.1
的准确值为 。
解题步骤 15.3.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 15.3.2.1.3
的准确值为 。
解题步骤 15.3.2.1.4
将 乘以 。
解题步骤 15.3.2.1.5
的准确值为 。
解题步骤 15.3.2.1.6
将 乘以 。
解题步骤 15.3.2.2
从 中减去 。
解题步骤 15.3.2.3
最终答案为 。
解题步骤 15.4
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
解题步骤 15.4.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 15.4.2
化简结果。
解题步骤 15.4.2.1
化简每一项。
解题步骤 15.4.2.1.1
计算 。
解题步骤 15.4.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 15.4.2.1.3
计算 。
解题步骤 15.4.2.1.4
将 乘以 。
解题步骤 15.4.2.1.5
计算 。
解题步骤 15.4.2.1.6
将 乘以 。
解题步骤 15.4.2.2
将 和 相加。
解题步骤 15.4.2.3
最终答案为 。
解题步骤 15.5
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
解题步骤 15.5.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 15.5.2
化简结果。
解题步骤 15.5.2.1
化简每一项。
解题步骤 15.5.2.1.1
计算 。
解题步骤 15.5.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 15.5.2.1.3
计算 。
解题步骤 15.5.2.1.4
将 乘以 。
解题步骤 15.5.2.1.5
计算 。
解题步骤 15.5.2.1.6
将 乘以 。
解题步骤 15.5.2.2
从 中减去 。
解题步骤 15.5.2.3
最终答案为 。
解题步骤 15.6
由于一阶导数在 周围从正号变为负号,因此 是极大值。
是一个极大值
解题步骤 15.7
由于一阶导数在 周围从负号变为正号,因此 是极小值。
是一个极小值
解题步骤 15.8
由于一阶导数在 周围从正号变为负号,因此 是极大值。
是一个极大值
解题步骤 15.9
这些是 的局部极值。
是一个极大值
是一个极小值
是一个极大值
是一个极大值
是一个极小值
是一个极大值
解题步骤 16