微积分学示例

$f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$5 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.7

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$- 10 \sin (2 x) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.7

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = - 10 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$f'' (x) = - 10 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f'' (x) = - 10 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.3.7

将 $- 2$ 乘以 $- 24$ 。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + 48 \sin (2 x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) = 0$

解题步骤 4

将方程中的每一项都除以 $\cos (2 x)$ 。

$\frac{- 10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

解题步骤 5

分离分数。

$\frac{- 10}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

解题步骤 6

将 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\tan (2 x)$ 。

$\frac{- 10}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

解题步骤 7

用 $- 10$ 除以 $1$ 。

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

解题步骤 8

约去 $\cos (2 x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

约去公因数。

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

解题步骤 8.2

用 $- 24$ 除以 $1$ 。

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

解题步骤 9

分离分数。

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

解题步骤 11

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0 \sec (2 x)$

解题步骤 12

将 $0$ 乘以 $\sec (2 x)$ 。

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0$

解题步骤 13

在等式两边都加上 $24$ 。

$- 10 \tan (2 x) = 24$

解题步骤 14

将 $- 10 \tan (2 x) = 24$ 中的每一项除以 $- 10$ 并化简。

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解题步骤 14.1

将 $- 10 \tan (2 x) = 24$ 中的每一项都除以 $- 10$ 。

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

解题步骤 14.2

化简左边。

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解题步骤 14.2.1

约去 $- 10$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

解题步骤 14.2.1.2

用 $\tan (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (2 x) = \frac{24}{- 10}$

解题步骤 14.3

化简右边。

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解题步骤 14.3.1

约去 $24$ 和 $- 10$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$\tan (2 x) = \frac{2 (12)}{- 10}$

解题步骤 14.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.1.2.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 14.3.1.2.2

约去公因数。

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 14.3.1.2.3

重写表达式。

$\tan (2 x) = \frac{12}{- 5}$

解题步骤 14.3.2

将负号移到分数的前面。

$\tan (2 x) = - \frac{12}{5}$

解题步骤 15

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$2 x = \arctan (- \frac{12}{5})$

解题步骤 16

化简右边。

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解题步骤 16.1

计算 $\arctan (- \frac{12}{5})$ 。

$2 x = - 1.1760052$

解题步骤 17

将 $2 x = - 1.1760052$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 17.1

将 $2 x = - 1.1760052$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

解题步骤 17.2

化简左边。

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解题步骤 17.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

解题步骤 17.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1.1760052}{2}$

解题步骤 17.3

化简右边。

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解题步骤 17.3.1

用 $- 1.1760052$ 除以 $2$ 。

$x = - 0.5880026$

解题步骤 18

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265)$

解题步骤 19

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 19.1

将 $2 π$ 加上 $- 1.1760052 - (3.14159265)$ 。

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 19.2

得出的角 $1.96558744$ 是正角度且与 $- 1.1760052 - (3.14159265)$ 共边。

$2 x = 1.96558744$

解题步骤 19.3

将 $2 x = 1.96558744$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 19.3.1

将 $2 x = 1.96558744$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

解题步骤 19.3.2

化简左边。

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解题步骤 19.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

解题步骤 19.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1.96558744}{2}$

解题步骤 19.3.3

化简右边。

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解题步骤 19.3.3.1

用 $1.96558744$ 除以 $2$ 。

$x = 0.98279372$

解题步骤 20

方程 $2 x = - 1.1760052$ 的解。

$x = - 0.5880026, 0.98279372$

解题步骤 21

计算在 $x = - 0.5880026$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 20 \cos (2 (- 0.5880026)) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

解题步骤 22

化简每一项。

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解题步骤 22.1

将 $2$ 乘以 $- 0.5880026$ 。

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

解题步骤 22.2

将 $2$ 乘以 $- 0.5880026$ 。

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (- 1.1760052)$

解题步骤 23

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 0.5880026$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 0.5880026$ 是一个极大值

解题步骤 24

求 $x = - 0.5880026$ 时的 y 值。

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解题步骤 24.1

使用表达式中的 $- 0.5880026$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (2 (- 0.5880026)) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

解题步骤 24.2

化简结果。

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解题步骤 24.2.1

化简每一项。

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解题步骤 24.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 0.5880026$ 。

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

解题步骤 24.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 0.5880026$ 。

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

解题步骤 24.2.2

最终答案为 $5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$ 。

$y = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

解题步骤 25

计算在 $x = 0.98279372$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 20 \cos (2 (0.98279372)) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

解题步骤 26

化简每一项。

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解题步骤 26.1

将 $2$ 乘以 $0.98279372$ 。

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

解题步骤 26.2

将 $2$ 乘以 $0.98279372$ 。

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (1.96558744)$

解题步骤 27

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0.98279372$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0.98279372$ 是一个极小值

解题步骤 28

求 $x = 0.98279372$ 时的 y 值。

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解题步骤 28.1

使用表达式中的 $0.98279372$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.98279372) = 5 \cos (2 (0.98279372)) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

解题步骤 28.2

化简结果。

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解题步骤 28.2.1

化简每一项。

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解题步骤 28.2.1.1

将 $2$ 乘以 $0.98279372$ 。

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

解题步骤 28.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0.98279372$ 。

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

解题步骤 28.2.2

最终答案为 $5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$ 。

$y = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

解题步骤 29

这些是 $f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ 的局部极值。

$(- 0.5880026, 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3)$ 是一个局部最大值

$(0.98279372, 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3)$ 是一个局部最小值

解题步骤 30

微积分学 示例

微积分学示例