微积分学示例

$f (x) = 5 x^{3} - 125 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $5 x^{3} - 125 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 125 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 125$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 125 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 125 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$15 x^{2} - 125 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$15 x^{2} - 125 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 125$ 乘以 $1$ 。

$15 x^{2} - 125$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $15 x^{2} - 125$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 125]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 125)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = 30 x + \frac{d}{d x} (- 125)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 125$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 125$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 30 x + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $30 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 30 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$15 x^{2} - 125 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $5 x^{3} - 125 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 125 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 125$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 125 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 125 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 15 x^{2} - 125 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 15 x^{2} - 125 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 125$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 15 x^{2} - 125$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $15 x^{2} - 125$ 。

$15 x^{2} - 125$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $15 x^{2} - 125 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$15 x^{2} - 125 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $125$ 。

$15 x^{2} = 125$

解题步骤 5.3

将 $15 x^{2} = 125$ 中的每一项除以 $15$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $15 x^{2} = 125$ 中的每一项都除以 $15$ 。

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{125}{15}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{125}{15}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{125}{15}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

约去 $125$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{2} = \frac{5 (25)}{15}$

解题步骤 5.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{2} = \frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{2} = \frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{2} = \frac{25}{3}$

解题步骤 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{3}}$

解题步骤 5.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{25}{3}}$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $\sqrt{\frac{25}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.2

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.3

将 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.4.1

将 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 5.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.5.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 5.5.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$30 (\frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

从 $30$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (10) \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 10 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.1.3

重写表达式。

$10 (5 \sqrt{3})$

解题步骤 9.2

将 $5$ 乘以 $10$ 。

$50 \sqrt{3}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.1.1.1

对 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.1.2

对 $5 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.1.2.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.2.2

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{27}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.2.4

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 11.2.1.2.4.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.2.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.2.5

从根式下提出各项。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.2.6

将 $125$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{375 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{375 \sqrt{3}}{27}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $375$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

从 $375 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{27}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 (9)}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3}}{9}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.5

乘以 $5 \frac{125 \sqrt{3}}{9}$ 。

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解题步骤 11.2.1.5.1

组合 $5$ 和 $\frac{125 \sqrt{3}}{9}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{5 (125 \sqrt{3})}{9} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.5.2

将 $125$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.6

乘以 $- 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 11.2.1.6.1

组合 $- 125$ 和 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 125 (5 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 11.2.1.6.2

将 $5$ 乘以 $- 125$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 625 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.1.7

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11.2.2

要将 $- \frac{625 \sqrt{3}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 11.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

解题步骤 11.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3} - 625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

解题步骤 11.2.5

化简分子。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $3$ 乘以 $- 625$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3} - 1875 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 11.2.5.2

从 $625 \sqrt{3}$ 中减去 $1875 \sqrt{3}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1250 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 11.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 11.2.7

最终答案为 $- \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$ 。

$y = - \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$30 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1

将 $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$30 \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 13.1.2

从 $30$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (10) \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 13.1.3

约去公因数。

$3 \cdot 10 \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 13.1.4

重写表达式。

$10 (- 5 \sqrt{3})$

解题步骤 13.2

将 $- 5$ 乘以 $10$ 。

$- 50 \sqrt{3}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 {(- \frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.1.1

对 $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.1.2

对 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}})) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.1.3

对 $5 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}})) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 15.2.1.3.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.3.2

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.3.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{27}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.3.4

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 15.2.1.3.4.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.3.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.3.5

从根式下提出各项。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.3.6

将 $125$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{375 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{375 \sqrt{3}}{27}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5

约去 $375$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.5.1

从 $375 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{27}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.5.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 (9)}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3}}{9}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.6

乘以 $5 (- \frac{125 \sqrt{3}}{9})$ 。

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解题步骤 15.2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - 5 \frac{125 \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.6.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{125 \sqrt{3}}{9}$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 (125 \sqrt{3})}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.6.3

将 $125$ 乘以 $- 5$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.7

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{(625) \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.8

乘以 $- 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$ 。

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解题步骤 15.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 125$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + 125 (\frac{5 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 15.2.1.8.2

组合 $125$ 和 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{125 (5 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 15.2.1.8.3

将 $5$ 乘以 $125$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 15.2.2

要将 $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 15.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 15.2.3.1

将 $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

解题步骤 15.2.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

解题步骤 15.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3} + 625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

解题步骤 15.2.5

化简分子。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $3$ 乘以 $625$ 。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3} + 1875 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 15.2.5.2

将 $- 625 \sqrt{3}$ 和 $1875 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $\frac{1250 \sqrt{3}}{9}$ 。

$y = \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = 5 x^{3} - 125 x$ 的局部极值。

$(\frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1250 \sqrt{3}}{9})$ 是一个局部最小值

$(- \frac{5 \sqrt{3}}{3}, \frac{1250 \sqrt{3}}{9})$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例