微积分学示例

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 1.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 1.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 1.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$10 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.5

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- 10 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 \cos (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.8

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

解题步骤 2.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

解题步骤 2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.13

化简。

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解题步骤 2.13.1

运用分配律。

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.13.2

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.2.5

方程 $x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 6.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 6.2.5

方程 $x = 0$ 的解。

$x = 0, π$

解题步骤 7

最终解为使 $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 9.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 9.1.3

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 9.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 10 \cdot 1^{2}$

解题步骤 9.1.5

一的任意次幂都为一。

$0 + 10 \cdot 1$

解题步骤 9.1.6

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$0 + 10$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $10$ 相加。

$10$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{π}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

解题步骤 11.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0$

解题步骤 11.2.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 0$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 10 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 13.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 13.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 13.1.4

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 13.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$0 + 10 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

解题步骤 13.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

解题步骤 13.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 10 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 13.1.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 + 10 \cdot 1$

解题步骤 13.1.9

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$0 + 10$

解题步骤 13.2

将 $0$ 和 $10$ 相加。

$10$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = \frac{3 π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 15.2.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

解题步骤 15.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0$

解题步骤 15.2.4

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

解题步骤 15.2.5

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 16

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 10 \cos^{2} (0) + 10 \sin^{2} (0)$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 10 \cdot 1^{2} + 10 \sin^{2} (0)$

解题步骤 17.1.2

一的任意次幂都为一。

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (0)$

解题步骤 17.1.3

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

解题步骤 17.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

解题步骤 17.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 10 + 10 \cdot 0$

解题步骤 17.1.6

将 $10$ 乘以 $0$ 。

$- 10 + 0$

解题步骤 17.2

将 $- 10$ 和 $0$ 相加。

$- 10$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 19

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 5 \cos^{2} (0)$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = 5 \cdot 1^{2}$

解题步骤 19.2.2

一的任意次幂都为一。

$f (0) = 5 \cdot 1$

解题步骤 19.2.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 5$

解题步骤 19.2.4

最终答案为 $5$ 。

$y = 5$

解题步骤 20

计算在 $x = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 10 \cos^{2} (π) + 10 \sin^{2} (π)$

解题步骤 21

计算二阶导数。

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解题步骤 21.1

化简每一项。

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解题步骤 21.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 10 {(- \cos (0))}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

解题步骤 21.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

解题步骤 21.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 10 {(- 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

解题步骤 21.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (π)$

解题步骤 21.1.5

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$- 10 + 10 \sin^{2} (π)$

解题步骤 21.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

解题步骤 21.1.7

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

解题步骤 21.1.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 10 + 10 \cdot 0$

解题步骤 21.1.9

将 $10$ 乘以 $0$ 。

$- 10 + 0$

解题步骤 21.2

将 $- 10$ 和 $0$ 相加。

$- 10$

解题步骤 22

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = π$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = π$ 是一个极大值

解题步骤 23

求 $x = π$ 时的 y 值。

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解题步骤 23.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = 5 \cos^{2} (π)$

解题步骤 23.2

化简结果。

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解题步骤 23.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (π) = 5 {(- \cos (0))}^{2}$

解题步骤 23.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = 5 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

解题步骤 23.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = 5 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 23.2.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (π) = 5 \cdot 1$

解题步骤 23.2.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = 5$

解题步骤 23.2.6

最终答案为 $5$ 。

$y = 5$

解题步骤 24

这些是 $f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{2}, 0)$ 是一个局部最小值

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ 是一个局部最小值

$(0, 5)$ 是一个局部最大值

$(π, 5)$ 是一个局部最大值

解题步骤 25

微积分学 示例

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