微积分学示例

$f (x) = 5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ 且 $g (x) = 6 + 5 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 + 5 x$ 。

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{5}}] \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{5}$ 。

$0 - (\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $6 + 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $6 + 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]))$

解题步骤 1.2.4

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [5 x]))$

解题步骤 1.2.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1))$

解题步骤 1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

解题步骤 1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

解题步骤 1.2.9

在公分母上合并分子。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

解题步骤 1.2.10

化简分子。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

解题步骤 1.2.10.2

从 $2$ 中减去 $5$ 。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

解题步骤 1.2.11

将负号移到分数的前面。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

解题步骤 1.2.12

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5))$

解题步骤 1.2.13

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5)$

解题步骤 1.2.14

组合 $\frac{2}{5}$ 和 ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ 。

$0 - (\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5)$

解题步骤 1.2.15

组合 $\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ 和 $5$ 。

$0 - \frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

解题步骤 1.2.16

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$0 - \frac{10 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

解题步骤 1.2.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ 移动到分母。

$0 - \frac{10}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 1.2.18

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 1.2.19

约去公因数。

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解题步骤 1.2.19.1

从 $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

解题步骤 1.2.19.2

约去公因数。

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 1.2.19.3

重写表达式。

$0 - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 1.3

从 $0$ 中减去 $\frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ 。

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ 重写为 ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.2.2.2

乘以 $\frac{3}{5} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.2.1

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}$

解题步骤 2.1.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}}$

解题步骤 2.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{3}{5}}$ 且 $g (x) = 6 + 5 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 + 5 x$ 。

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{5}}) \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{5}$ 。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} u^{- \frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.2.3

使用 $6 + 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3 - 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.6.2

从 $- 3$ 中减去 $5$ 。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 8}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.7.2

组合 ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ 和 $\frac{3}{5}$ 。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{{(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.7.3

化简表达式。

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解题步骤 2.7.3.1

将 $3$ 移到 ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3 \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}}{5} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.7.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 2.7.4

组合 $\frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x)$

解题步骤 2.7.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x)$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $6 + 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (5 x))$

解题步骤 2.9

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (5 x))$

解题步骤 2.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 相加。

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.12

化简项。

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解题步骤 2.12.1

组合 $5$ 和 $\frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.12.2

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = \frac{30}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.12.3

从 $30$ 中分解出因数 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.13

约去公因数。

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解题步骤 2.13.1

从 $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}})} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.13.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.13.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot 1$

解题步骤 2.15

化简表达式。

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解题步骤 2.15.1

将 $\frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$

解题步骤 2.15.2

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{6}{{(5 x + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}})$

解题步骤 4.1.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}})$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ 。

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 4.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ 且 $g (x) = 6 + 5 x$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 + 5 x$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{5}}) \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 4.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{5}$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 4.1.2.2.3

使用 $6 + 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

解题步骤 4.1.2.3

根据加法法则， $6 + 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (5 x))))$

解题步骤 4.1.2.4

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (5 x))))$

解题步骤 4.1.2.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} (x))))$

解题步骤 4.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1)))$

解题步骤 4.1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

解题步骤 4.1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

解题步骤 4.1.2.9

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

解题步骤 4.1.2.10

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

解题步骤 4.1.2.10.2

从 $2$ 中减去 $5$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

解题步骤 4.1.2.11

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

解题步骤 4.1.2.12

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5)))$

解题步骤 4.1.2.13

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5)$

解题步骤 4.1.2.14

组合 $\frac{2}{5}$ 和 ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5)$

解题步骤 4.1.2.15

组合 $\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ 和 $5$ 。

$f' (x) = 0 - \frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

解题步骤 4.1.2.16

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 0 - \frac{10 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

解题步骤 4.1.2.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 0 - \frac{10}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 4.1.2.18

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 4.1.2.19

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.19.1

从 $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

解题步骤 4.1.2.19.2

约去公因数。

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 4.1.2.19.3

重写表达式。

$f' (x) = 0 - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 4.1.3

从 $0$ 中减去 $\frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ 。

$f' (x) = - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ 。

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 5.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{2}{\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{2}{\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $5$ 次幂。

${\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}$ 重写成 ${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ 。

${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

将 ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

${(6 + 5 x)}^{3} = 0^{5}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(6 + 5 x)}^{3} = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $6 + 5 x$ 设为等于 $0$ 。

$6 + 5 x = 0$

解题步骤 6.3.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$5 x = - 6$

解题步骤 6.3.3.2.2

将 $5 x = - 6$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1

将 $5 x = - 6$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

解题步骤 6.3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

解题步骤 6.3.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 6}{5}$

解题步骤 6.3.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{6}{5}$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - \frac{6}{5}$

解题步骤 8

计算在 $x = - \frac{6}{5}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{6}{{(5 (- \frac{6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

将 $- \frac{6}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{6}{{(5 (\frac{- 6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

解题步骤 9.1.2

约去公因数。

$\frac{6}{{(5 (\frac{- 6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

解题步骤 9.1.3

重写表达式。

$\frac{6}{{(- 6 + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

解题步骤 9.2

化简表达式。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{6}{0^{\frac{8}{5}}}$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$\frac{6}{{(0^{5})}^{\frac{8}{5}}}$

解题步骤 9.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{6}{0^{5 (\frac{8}{5})}}$

解题步骤 9.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

约去公因数。

$\frac{6}{0^{5 (\frac{8}{5})}}$

解题步骤 9.3.2

重写表达式。

$\frac{6}{0^{8}}$

解题步骤 9.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{6}{0}$

解题步骤 9.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, - \frac{6}{5})$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(6 + 5 (- 4))}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简分母。

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解题步骤 10.2.2.1.1

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(6 - 20)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 10.2.2.1.2

从 $6$ 中减去 $20$ 。

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 10.2.2.2

最终答案为 $- \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$ 。

$- \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 10.3

将区间 $(- \frac{6}{5}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = - \frac{2}{{(6 + 5 (0))}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简分母。

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解题步骤 10.3.2.1.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = - \frac{2}{{(6 + 0)}^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = - \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 10.3.2.2

最终答案为 $- \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$ 。

$- \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 10.4

由于一阶导数在 $x = - \frac{6}{5}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = - \frac{6}{5}$ 是极大值。

$x = - \frac{6}{5}$ 是一个极大值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例