微积分学示例

$f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 x \ln (x) - 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

约去公因数。

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.6.2

重写表达式。

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.7

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

解题步骤 1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 4 \ln (x) - 7$

解题步骤 1.4.2.2

从 $4$ 中减去 $7$ 。

$4 \ln (x) - 3$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 \ln (x) - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{x} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{4}{x}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 \ln (x) - 3 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $4 x \ln (x) - 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 4.1.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 4.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 4.1.2.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 4.1.2.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.6.1

约去公因数。

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 4.1.2.6.2

重写表达式。

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 4.1.2.7

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

运用分配律。

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

解题步骤 4.1.4.2

合并项。

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解题步骤 4.1.4.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 4 \ln (x) - 7$

解题步骤 4.1.4.2.2

从 $4$ 中减去 $7$ 。

$f' (x) = 4 \ln (x) - 3$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 \ln (x) - 3$ 。

$4 \ln (x) - 3$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 \ln (x) - 3 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 \ln (x) - 3 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$4 \ln (x) = 3$

解题步骤 5.3

将 $4 \ln (x) = 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $4 \ln (x) = 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 5.5

使用对数的定义将 $\ln (x) = \frac{3}{4}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{3}{4}} = x$

解题步骤 5.6

将方程重写为 $x = e^{\frac{3}{4}}$ 。

$x = e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

解题步骤 6.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 8

计算在 $x = e^{\frac{3}{4}}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4}{e^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = e^{\frac{3}{4}}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = e^{\frac{3}{4}}$ 是一个极小值

解题步骤 10

求 $x = e^{\frac{3}{4}}$ 时的 y 值。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $e^{\frac{3}{4}}$ 替换变量 $x$ 。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) \ln (e^{\frac{3}{4}}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

使用对数规则把 $\frac{3}{4}$ 移到指数外部。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot \ln (e)) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 10.2.1.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot 1) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 10.2.1.3

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 10.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.4.1

从 $4 e^{\frac{3}{4}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 10.2.1.4.2

约去公因数。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 10.2.1.4.3

重写表达式。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = e^{\frac{3}{4}} \cdot 3 - 7 e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 10.2.1.5

将 $3$ 移到 $e^{\frac{3}{4}}$ 的左侧。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 3 e^{\frac{3}{4}} - 7 e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 10.2.2

从 $3 e^{\frac{3}{4}}$ 中减去 $7 e^{\frac{3}{4}}$ 。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 10.2.3

最终答案为 $- 4 e^{\frac{3}{4}}$ 。

$y = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 11

这些是 $f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$ 的局部极值。

$(e^{\frac{3}{4}}, - 4 e^{\frac{3}{4}})$ 是一个局部最小值

解题步骤 12

微积分学 示例

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