微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} - 3$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 5 x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$4 x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 10 x + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $4 x^{3} - 10 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} - 10 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 10 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 10 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 10 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 10 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 10$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} - 10 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 5 x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 10 x + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $4 x^{3} - 10 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 10 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 10 x$ 。

$4 x^{3} - 10 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 10 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 10 x = 0$

解题步骤 5.2

从 $4 x^{3} - 10 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (2 x^{2}) - 10 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 5) = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 5)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (2 x^{2} - 5) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$2 x^{2} - 5 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $2 x^{2} - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $2 x^{2} - 5$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} - 5 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} - 5 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$2 x^{2} = 5$

解题步骤 5.5.2.2

将 $2 x^{2} = 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $2 x^{2} = 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 5.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

解题步骤 5.5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{5}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.2.4.3.1

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.4.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4.4

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4.4.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{10}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{10}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{10}}{2}, - \frac{\sqrt{10}}{2}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $2 x (2 x^{2} - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{\sqrt{10}}{2}, - \frac{\sqrt{10}}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, \frac{\sqrt{10}}{2}, - \frac{\sqrt{10}}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(0)}^{2} - 10$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 \cdot 0 - 10$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 - 10$

解题步骤 9.2

从 $0$ 中减去 $10$ 。

$- 10$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} - 5 {(0)}^{2} - 3$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{2} - 3$

解题步骤 11.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 - 3$

解题步骤 11.2.1.3

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 3$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 - 3$

解题步骤 11.2.2.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$f (0) = - 3$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{\sqrt{10}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 10$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 运用乘积法则。

$12 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 13.1.2

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 13.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 13.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 13.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$12 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 13.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.2.4.1

约去公因数。

$12 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 13.1.2.4.2

重写表达式。

$12 \frac{10^{1}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 13.1.2.5

计算指数。

$12 \frac{10}{2^{2}} - 10$

解题步骤 13.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 (\frac{10}{4}) - 10$

解题步骤 13.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3) \frac{10}{4} - 10$

解题步骤 13.1.4.2

约去公因数。

$4 \cdot 3 \frac{10}{4} - 10$

解题步骤 13.1.4.3

重写表达式。

$3 \cdot 10 - 10$

解题步骤 13.1.5

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$30 - 10$

解题步骤 13.2

从 $30$ 中减去 $10$ 。

$20$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{\sqrt{10}}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{\sqrt{10}}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = \frac{\sqrt{10}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{4} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{{\sqrt{10}}^{4}}{2^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 15.2.1.2.1

将 ${\sqrt{10}}^{4}$ 重写为 $10^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{2}}{2^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.2.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{100}{2^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{100}{16} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.4

约去 $100$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.1

从 $100$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{4 (25)}{16} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 4} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 4} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.5

对 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{2^{2}} - 3$

解题步骤 15.2.1.6

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 15.2.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 3$

解题步骤 15.2.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 3$

解题步骤 15.2.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3$

解题步骤 15.2.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3$

解题步骤 15.2.1.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{10}{2^{2}} - 3$

解题步骤 15.2.1.6.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{10}{2^{2}} - 3$

解题步骤 15.2.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 (\frac{10}{4}) - 3$

解题步骤 15.2.1.8

约去 $10$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.8.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{2 (5)}{4} - 3$

解题步骤 15.2.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2} - 3$

解题步骤 15.2.1.8.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2} - 3$

解题步骤 15.2.1.8.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.9

乘以 $- 5 (\frac{5}{2})$ 。

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解题步骤 15.2.1.9.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.9.2

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 3$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $\frac{25}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 3$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{25}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 3$

解题步骤 15.2.2.3

将 $- 3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 3}{1}$

解题步骤 15.2.2.4

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 15.2.2.5

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 15.2.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

将 $- 25$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25 - 50 - 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25 - 50 - 12}{4}$

解题步骤 15.2.5

化简表达式。

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解题步骤 15.2.5.1

从 $25$ 中减去 $50$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{- 25 - 12}{4}$

解题步骤 15.2.5.2

从 $- 25$ 中减去 $12$ 。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{- 37}{4}$

解题步骤 15.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = - \frac{37}{4}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $- \frac{37}{4}$ 。

$y = - \frac{37}{4}$

解题步骤 16

计算在 $x = - \frac{\sqrt{10}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 10$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 17.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{10}}{2}$ 运用乘积法则。

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2}) - 10$

解题步骤 17.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 运用乘积法则。

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{2^{2}}) - 10$

解题步骤 17.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 (1 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{2^{2}}) - 10$

解题步骤 17.1.3

将 $\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$12 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 17.1.4

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 17.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 17.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 17.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$12 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 17.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.4.4.1

约去公因数。

$12 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 17.1.4.4.2

重写表达式。

$12 \frac{10^{1}}{2^{2}} - 10$

解题步骤 17.1.4.5

计算指数。

$12 \frac{10}{2^{2}} - 10$

解题步骤 17.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 (\frac{10}{4}) - 10$

解题步骤 17.1.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3) \frac{10}{4} - 10$

解题步骤 17.1.6.2

约去公因数。

$4 \cdot 3 \frac{10}{4} - 10$

解题步骤 17.1.6.3

重写表达式。

$3 \cdot 10 - 10$

解题步骤 17.1.7

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$30 - 10$

解题步骤 17.2

从 $30$ 中减去 $10$ 。

$20$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{\sqrt{10}}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{\sqrt{10}}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = - \frac{\sqrt{10}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{10}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{4} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{10}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{4} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{10}}^{4}}{2^{4}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt{10}}^{4}}{2^{4}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.3

将 $\frac{{\sqrt{10}}^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{{\sqrt{10}}^{4}}{2^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 19.2.1.4.1

将 ${\sqrt{10}}^{4}$ 重写为 $10^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.4.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.4.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.4.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.4.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.4.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.4.1.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.4.1.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.4.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{10^{2}}{2^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.4.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{100}{2^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{100}{16} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.6

约去 $100$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.6.1

从 $100$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{4 (25)}{16} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.6.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 4} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 4} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.7.1

对 $- \frac{\sqrt{10}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{10}}{2})}^{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.2

对 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{2^{2}})) - 3$

解题步骤 19.2.1.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 (1 (\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{2^{2}})) - 3$

解题步骤 19.2.1.9

将 $\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{2^{2}} - 3$

解题步骤 19.2.1.10

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 19.2.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 3$

解题步骤 19.2.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 3$

解题步骤 19.2.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3$

解题步骤 19.2.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.10.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3$

解题步骤 19.2.1.10.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{10}{2^{2}} - 3$

解题步骤 19.2.1.10.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{10}{2^{2}} - 3$

解题步骤 19.2.1.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 (\frac{10}{4}) - 3$

解题步骤 19.2.1.12

约去 $10$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.12.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{2 (5)}{4} - 3$

解题步骤 19.2.1.12.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.12.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2} - 3$

解题步骤 19.2.1.12.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2} - 3$

解题步骤 19.2.1.12.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.13

乘以 $- 5 (\frac{5}{2})$ 。

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解题步骤 19.2.1.13.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.13.2

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} - 3$

解题步骤 19.2.1.14

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 3$

解题步骤 19.2.2

求公分母。

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解题步骤 19.2.2.1

将 $\frac{25}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 3$

解题步骤 19.2.2.2

将 $\frac{25}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 3$

解题步骤 19.2.2.3

将 $- 3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 3}{1}$

解题步骤 19.2.2.4

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 19.2.2.5

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 19.2.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 19.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 19.2.4

化简每一项。

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解题步骤 19.2.4.1

将 $- 25$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25 - 50 - 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 19.2.4.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{25 - 50 - 12}{4}$

解题步骤 19.2.5

化简表达式。

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解题步骤 19.2.5.1

从 $25$ 中减去 $50$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{- 25 - 12}{4}$

解题步骤 19.2.5.2

从 $- 25$ 中减去 $12$ 。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{- 37}{4}$

解题步骤 19.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{2}) = - \frac{37}{4}$

解题步骤 19.2.6

最终答案为 $- \frac{37}{4}$ 。

$y = - \frac{37}{4}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = x^{4} - 5 x^{2} - 3$ 的局部极值。

$(0, - 3)$ 是一个局部最大值

$(\frac{\sqrt{10}}{2}, - \frac{37}{4})$ 是一个局部最小值

$(- \frac{\sqrt{10}}{2}, - \frac{37}{4})$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例