微积分学示例

$f (x) = x^{4} {(x - 24)}^{2}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

将 ${(x - 24)}^{2}$ 重写为 $(x - 24) (x - 24)$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 24) (x - 24))]$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 24) (x - 24)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 24) - 24 (x - 24))]$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 (x - 24))]$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 24$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 \cdot x - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 24$ 乘以 $- 24$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x - 24 x + 576)]$

解题步骤 1.3.2

从 $- 24 x$ 中减去 $24 x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 48 x + 576)]$

解题步骤 1.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x^{2} - 48 x + 576$ 。

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 48 x + 576] + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.5

求微分。

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解题步骤 1.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 48 x + 576$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]$ 。

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.5.3

因为 $- 48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 48 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{4} (2 x - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (2 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.5.5

将 $- 48$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (2 x - 48 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.5.6

因为 $576$ 对于 $x$ 是常数，所以 $576$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{4} (2 x - 48 + 0) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.5.7

将 $2 x - 48$ 和 $0$ 相加。

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) (4 x^{3})$

解题步骤 1.5.9

将 $4$ 移到 $x^{2} - 48 x + 576$ 的左侧。

$x^{4} (2 x - 48) + 4 \cdot (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + (4 x^{2} + 4 (- 48 x) + 4 \cdot 576) x^{3}$

解题步骤 1.6.3

运用分配律。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4

合并项。

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解题步骤 1.6.4.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.4.1.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.6.4.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.2

将 $2$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.3

将 $- 48$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$2 x^{5} - 48 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.6.4.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.4.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.5

将 $- 48$ 乘以 $4$ 。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.6.4.6.1

移动 $x^{3}$ 。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x) + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.6.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.4.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{3 + 1} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.7

将 $4$ 乘以 $576$ 。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.8

将 $2 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$6 x^{5} - 48 x^{4} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

解题步骤 1.6.4.9

从 $- 48 x^{4}$ 中减去 $192 x^{4}$ 。

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2304 x^{3}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

解题步骤 2.2.3

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 240 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 240$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 240 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 240 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 240 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 240 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $- 240$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [2304 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2304$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2304 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2304 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 2304 \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 2304 (3 x^{2})$

解题步骤 2.4.3

将 $3$ 乘以 $2304$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 6912 x^{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

将 ${(x - 24)}^{2}$ 重写为 $(x - 24) (x - 24)$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 24) (x - 24))]$

解题步骤 4.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 24) (x - 24)$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 24) - 24 (x - 24))]$

解题步骤 4.1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 (x - 24))]$

解题步骤 4.1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

解题步骤 4.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

解题步骤 4.1.3.1.2

将 $- 24$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 \cdot x - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

解题步骤 4.1.3.1.3

将 $- 24$ 乘以 $- 24$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x - 24 x + 576)]$

解题步骤 4.1.3.2

从 $- 24 x$ 中减去 $24 x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 48 x + 576)]$

解题步骤 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 48 x + 576] + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.5

求微分。

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解题步骤 4.1.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 48 x + 576$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]$ 。

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.5.3

因为 $- 48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 48 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{4} (2 x - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (2 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.5.5

将 $- 48$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (2 x - 48 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.5.6

因为 $576$ 对于 $x$ 是常数，所以 $576$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{4} (2 x - 48 + 0) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.5.7

将 $2 x - 48$ 和 $0$ 相加。

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) (4 x^{3})$

解题步骤 4.1.5.9

将 $4$ 移到 $x^{2} - 48 x + 576$ 的左侧。

$x^{4} (2 x - 48) + 4 \cdot (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

解题步骤 4.1.6

化简。

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解题步骤 4.1.6.1

运用分配律。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

解题步骤 4.1.6.2

运用分配律。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + (4 x^{2} + 4 (- 48 x) + 4 \cdot 576) x^{3}$

解题步骤 4.1.6.3

运用分配律。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4

合并项。

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解题步骤 4.1.6.4.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.4.1.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.1.6.4.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.2

将 $2$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.3

将 $- 48$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$2 x^{5} - 48 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.6.4.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.4.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.5

将 $- 48$ 乘以 $4$ 。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.6.4.6.1

移动 $x^{3}$ 。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x) + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.6.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.4.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{3 + 1} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 4 \cdot 576 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.7

将 $4$ 乘以 $576$ 。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.8

将 $2 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$6 x^{5} - 48 x^{4} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

解题步骤 4.1.6.4.9

从 $- 48 x^{4}$ 中减去 $192 x^{4}$ 。

$f' (x) = 6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ 。

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ 中分解出因数 $6 x^{3}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $6 x^{5}$ 中分解出因数 $6 x^{3}$ 。

$6 x^{3} (x^{2}) - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $- 240 x^{4}$ 中分解出因数 $6 x^{3}$ 。

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x) + 2304 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $2304 x^{3}$ 中分解出因数 $6 x^{3}$ 。

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x) + 6 x^{3} (384) = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x)$ 中分解出因数 $6 x^{3}$ 。

$6 x^{3} (x^{2} - 40 x) + 6 x^{3} (384) = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $6 x^{3} (x^{2} - 40 x) + 6 x^{3} (384)$ 中分解出因数 $6 x^{3}$ 。

$6 x^{3} (x^{2} - 40 x + 384) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

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解题步骤 5.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 40 x + 384$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $384$ ，和为 $- 40$ 。

$- 24, - 16$

解题步骤 5.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$6 x^{3} ((x - 24) (x - 16)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$6 x^{3} (x - 24) (x - 16) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

$x - 24 = 0$

$x - 16 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $x - 24$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x - 24$ 设为等于 $0$ 。

$x - 24 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上 $24$ 。

$x = 24$

解题步骤 5.6

将 $x - 16$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $x - 16$ 设为等于 $0$ 。

$x - 16 = 0$

解题步骤 5.6.2

在等式两边都加上 $16$ 。

$x = 16$

解题步骤 5.7

最终解为使 $6 x^{3} (x - 24) (x - 16) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 24, 16$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 24, 16$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$30 {(0)}^{4} - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$30 \cdot 0 - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.2

将 $30$ 乘以 $0$ 。

$0 - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 960 \cdot 0 + 6912 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.4

将 $- 960$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 6912 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + 6912 \cdot 0$

解题步骤 9.1.6

将 $6912$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, 16) \cup (16, 24) \cup (24, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $6$ 乘以 $- 32$ 。

$f' (- 2) = - 192 - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 192 - 240 \cdot 16 + 2304 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $- 240$ 乘以 $16$ 。

$f' (- 2) = - 192 - 3840 + 2304 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.5

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 192 - 3840 + 2304 \cdot - 8$

解题步骤 10.2.2.1.6

将 $2304$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (- 2) = - 192 - 3840 - 18432$

解题步骤 10.2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 10.2.2.2.1

从 $- 192$ 中减去 $3840$ 。

$f' (- 2) = - 4032 - 18432$

解题步骤 10.2.2.2.2

从 $- 4032$ 中减去 $18432$ 。

$f' (- 2) = - 22464$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $- 22464$ 。

$- 22464$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, 16)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 6 {(2)}^{5} - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (2) = 6 \cdot 32 - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $6$ 乘以 $32$ 。

$f' (2) = 192 - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (2) = 192 - 240 \cdot 16 + 2304 {(2)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.4

将 $- 240$ 乘以 $16$ 。

$f' (2) = 192 - 3840 + 2304 {(2)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (2) = 192 - 3840 + 2304 \cdot 8$

解题步骤 10.3.2.1.6

将 $2304$ 乘以 $8$ 。

$f' (2) = 192 - 3840 + 18432$

解题步骤 10.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.3.2.2.1

从 $192$ 中减去 $3840$ 。

$f' (2) = - 3648 + 18432$

解题步骤 10.3.2.2.2

将 $- 3648$ 和 $18432$ 相加。

$f' (2) = 14784$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $14784$ 。

$14784$

解题步骤 10.4

将区间 $(16, 24)$ 内的任一数字（例如 $20$ ）代入一阶导数 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $20$ 替换变量 $x$ 。

$f' (20) = 6 {(20)}^{5} - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

对 $20$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (20) = 6 \cdot 3200000 - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $6$ 乘以 $3200000$ 。

$f' (20) = 19200000 - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.3

对 $20$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (20) = 19200000 - 240 \cdot 160000 + 2304 {(20)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.4

将 $- 240$ 乘以 $160000$ 。

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 2304 {(20)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.5

对 $20$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 2304 \cdot 8000$

解题步骤 10.4.2.1.6

将 $2304$ 乘以 $8000$ 。

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 18432000$

解题步骤 10.4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.4.2.2.1

从 $19200000$ 中减去 $38400000$ 。

$f' (20) = - 19200000 + 18432000$

解题步骤 10.4.2.2.2

将 $- 19200000$ 和 $18432000$ 相加。

$f' (20) = - 768000$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $- 768000$ 。

$- 768000$

解题步骤 10.5

将区间 $(24, \infty)$ 内的任一数字（例如 $26$ ）代入一阶导数 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.5.1

使用表达式中的 $26$ 替换变量 $x$ 。

$f' (26) = 6 {(26)}^{5} - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

解题步骤 10.5.2

化简结果。

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解题步骤 10.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.5.2.1.1

对 $26$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (26) = 6 \cdot 11881376 - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

解题步骤 10.5.2.1.2

将 $6$ 乘以 $11881376$ 。

$f' (26) = 71288256 - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

解题步骤 10.5.2.1.3

对 $26$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (26) = 71288256 - 240 \cdot 456976 + 2304 {(26)}^{3}$

解题步骤 10.5.2.1.4

将 $- 240$ 乘以 $456976$ 。

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 2304 {(26)}^{3}$

解题步骤 10.5.2.1.5

对 $26$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 2304 \cdot 17576$

解题步骤 10.5.2.1.6

将 $2304$ 乘以 $17576$ 。

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 40495104$

解题步骤 10.5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.5.2.2.1

从 $71288256$ 中减去 $109674240$ 。

$f' (26) = - 38385984 + 40495104$

解题步骤 10.5.2.2.2

将 $- 38385984$ 和 $40495104$ 相加。

$f' (26) = 2109120$

解题步骤 10.5.2.3

最终答案为 $2109120$ 。

$2109120$

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 10.7

由于一阶导数在 $x = 16$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 16$ 是极大值。

$x = 16$ 是一个极大值

解题步骤 10.8

由于一阶导数在 $x = 24$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 24$ 是极小值。

$x = 24$ 是一个极小值

解题步骤 10.9

这些是 $f (x) = x^{4} {(x - 24)}^{2}$ 的局部极值。

$x = 0$ 是一个极小值

$x = 16$ 是一个极大值

$x = 24$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极小值

$x = 16$ 是一个极大值

$x = 24$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例