微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 4$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 4 x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 8 x + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $3 x^{2} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 8 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 8 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 8 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 8$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 8 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 4 x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 8 x + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $3 x^{2} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 8 x$ 。

$3 x^{2} - 8 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 8 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 8 x = 0$

解题步骤 5.2

从 $3 x^{2} - 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x) - 8 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $x (3 x) + x \cdot - 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x - 8) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $3 x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $3 x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 8 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $3 x - 8 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$3 x = 8$

解题步骤 5.5.2.2

将 $3 x = 8$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $3 x = 8$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{8}{3}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $x (3 x - 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{8}{3}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, \frac{8}{3}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (0) - 8$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 - 8$

解题步骤 9.2

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$- 8$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 4$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} - 4$

解题步骤 11.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 4$

解题步骤 11.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 4$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 - 4$

解题步骤 11.2.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$f (0) = - 4$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{8}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (\frac{8}{3}) - 8$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{8}{3} - 8$

解题步骤 13.1.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{8}{3} - 8$

解题步骤 13.1.1.3

重写表达式。

$2 \cdot 8 - 8$

解题步骤 13.1.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 - 8$

解题步骤 13.2

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$8$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{8}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{8}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = \frac{8}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{8}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} - 4$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $\frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} - 4$

解题步骤 15.2.1.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} - 4$

解题步骤 15.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} - 4$

解题步骤 15.2.1.4

对 $\frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}} - 4$

解题步骤 15.2.1.5

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}} - 4$

解题步骤 15.2.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9}) - 4$

解题步骤 15.2.1.7

乘以 $- 4 (\frac{64}{9})$ 。

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解题步骤 15.2.1.7.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{64}{9}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9} - 4$

解题步骤 15.2.1.7.2

将 $- 4$ 乘以 $64$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9} - 4$

解题步骤 15.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} - 4$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $\frac{256}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 4$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{256}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 4$

解题步骤 15.2.2.3

将 $- 4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 4}{1}$

解题步骤 15.2.2.4

将 $\frac{- 4}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 15.2.2.5

将 $\frac{- 4}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.2.6

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.2.7

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27} + \frac{- 4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3 - 4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

将 $- 256$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768 - 4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 4$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768 - 108}{27}$

解题步骤 15.2.5

化简表达式。

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解题步骤 15.2.5.1

从 $512$ 中减去 $768$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256 - 108}{27}$

解题步骤 15.2.5.2

从 $- 256$ 中减去 $108$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 364}{27}$

解题步骤 15.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{364}{27}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $- \frac{364}{27}$ 。

$y = - \frac{364}{27}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 4$ 的局部极值。

$(0, - 4)$ 是一个局部最大值

$(\frac{8}{3}, - \frac{364}{27})$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

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