微积分学示例

$\int_{0}^{5} \sqrt{25 - x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 5 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 5 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $5 \cos (t)$ 为正数。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $5 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.3

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $25$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 25 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $25 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(5 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 25 \cos (t) \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.3

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 25 \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 3

由于 $25$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $25$ 移到积分外。

$25 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 4

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$25 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $25$ 。

$\frac{25}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 9.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 9.2

将下限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 9.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 9.4

将上限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 9.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 9.5.2

重写表达式。

$u_{upper} = π$

解题步骤 9.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

解题步骤 9.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 10

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

解题步骤 12

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $t$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{25}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

解题步骤 13.2

计算 $\sin (u)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{25}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

解题步骤 13.3

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{25}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{25}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

解题步骤 14.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{25}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

解题步骤 14.3

将 $\sin (π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{25}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

解题步骤 14.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (π)$ 。

$\frac{25}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

在公分母上合并分子。

$\frac{25}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

解题步骤 15.2

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{25}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

解题步骤 15.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{25}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

解题步骤 15.3

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{25}{2} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 15.4

乘以 $\frac{25}{2} \cdot \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 15.4.1

将 $\frac{25}{2}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{25 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 15.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{25 π}{4}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{25 π}{4}$

小数形式：

$19.63495408 \dots$

解题步骤 17

微积分学 示例

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