微积分学示例

$f (x) = 1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$0 + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 + 7 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$0 - 7 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{8}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 1.3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

解题步骤 1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

解题步骤 1.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

解题步骤 1.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 1.3.10

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$0 - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$

解题步骤 1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 x^{- 3}$

解题步骤 1.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1.4.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.3.1

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$0 + \frac{- 7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$0 - \frac{7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1.4.3.3

从 $0$ 中减去 $\frac{7}{x^{2}}$ 。

$- \frac{7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1.4.3.4

组合 $16$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{3}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{2}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{7}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.2.10

将 $- 2$ 乘以 $- 7$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{3}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{16}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.3.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.3.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

解题步骤 2.3.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

解题步骤 2.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{2 - 6})$

解题步骤 2.3.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 2.3.8

将 $- 3$ 乘以 $16$ 。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} - 48 x^{- 4}$

解题步骤 2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 14 (\frac{1}{x^{3}}) - 48 x^{- 4}$

解题步骤 2.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 14 (\frac{1}{x^{3}}) - 48 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.3.1

组合 $14$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} - 48 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.3.2

组合 $- 48$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 48}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

解题步骤 4.1.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$f' (x) = 0 + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

解题步骤 4.1.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f' (x) = 0 + 7 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

解题步骤 4.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 0 + 7 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

解题步骤 4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{8}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

解题步骤 4.1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 4.1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

解题步骤 4.1.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

解题步骤 4.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 4.1.3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

解题步骤 4.1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

解题步骤 4.1.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

解题步骤 4.1.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

解题步骤 4.1.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

解题步骤 4.1.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 4.1.3.10

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$

解题步骤 4.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = 0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 x^{- 3}$

解题步骤 4.1.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = 0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 4.1.4.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.3.1

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$f' (x) = 0 + \frac{- 7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 4.1.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 0 - \frac{7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 4.1.4.3.3

从 $0$ 中减去 $\frac{7}{x^{2}}$ 。

$f' (x) = - \frac{7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 4.1.4.3.4

组合 $16$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f' (x) = - \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$ 。

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$

解题步骤 5.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{2}, x^{3}, 1$

解题步骤 5.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

解题步骤 5.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 5.2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 5.2.5

$1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 5.2.6

$x^{2}$ 的因数为 $x \cdot x$ ，即 $x$ 连续相乘 $2$ 次。

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ 出现了 $2$ 次。

解题步骤 5.2.7

$x^{3}$ 的因数为 $x \cdot x \cdot x$ ，即 $x$ 连续相乘 $3$ 次。

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ 出现了 $3$ 次。

解题步骤 5.2.8

$x^{2}, x^{3}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x \cdot x \cdot x$

解题步骤 5.2.9

化简 $x \cdot x \cdot x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.9.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} \cdot x$

解题步骤 5.2.9.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.9.2.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.9.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} \cdot x^{1}$

解题步骤 5.2.9.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 1}$

解题步骤 5.2.9.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{3}$

解题步骤 5.3

将 $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 。

$- \frac{7}{x^{2}} x^{3} + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1.1

将 $- \frac{7}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{3} + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 5.3.2.1.1.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 5.3.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 5.3.2.1.1.4

重写表达式。

$- 7 x + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去 $x^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.2.1

约去公因数。

$- 7 x + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

重写表达式。

$- 7 x + 16 = 0 x^{3}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{3}$ 。

$- 7 x + 16 = 0$

解题步骤 5.4

求解方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$- 7 x = - 16$

解题步骤 5.4.2

将 $- 7 x = - 16$ 中的每一项除以 $- 7$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1

将 $- 7 x = - 16$ 中的每一项都除以 $- 7$ 。

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

解题步骤 5.4.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.2.1

约去 $- 7$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

解题步骤 5.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 16}{- 7}$

解题步骤 5.4.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{16}{7}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $\frac{7}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.3

将 $\frac{16}{x^{3}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} = 0$

解题步骤 6.4

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.4.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 6.4.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{16}{7}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{16}{7}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{14}{{(\frac{16}{7})}^{3}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1.1

对 $\frac{16}{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{14}{\frac{16^{3}}{7^{3}}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

解题步骤 9.1.1.2

对 $16$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{14}{\frac{4096}{7^{3}}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

解题步骤 9.1.1.3

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{14}{\frac{4096}{343}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

解题步骤 9.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$14 (\frac{343}{4096}) - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

解题步骤 9.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (7) \frac{343}{4096} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

解题步骤 9.1.3.2

从 $4096$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot 7 \frac{343}{2 \cdot 2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

解题步骤 9.1.3.3

约去公因数。

$2 \cdot 7 \frac{343}{2 \cdot 2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

解题步骤 9.1.3.4

重写表达式。

$7 (\frac{343}{2048}) - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

解题步骤 9.1.4

组合 $7$ 和 $\frac{343}{2048}$ 。

$\frac{7 \cdot 343}{2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

解题步骤 9.1.5

将 $7$ 乘以 $343$ 。

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

解题步骤 9.1.6

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.6.1

对 $\frac{16}{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{16^{4}}{7^{4}}}$

解题步骤 9.1.6.2

对 $16$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{65536}{7^{4}}}$

解题步骤 9.1.6.3

对 $7$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{65536}{2401}}$

解题步骤 9.1.7

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2401}{2048} - (48 (\frac{2401}{65536}))$

解题步骤 9.1.8

约去 $16$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.8.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{2401}{2048} - (16 (3) \frac{2401}{65536})$

解题步骤 9.1.8.2

从 $65536$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{2401}{2048} - (16 \cdot 3 \frac{2401}{16 \cdot 4096})$

解题步骤 9.1.8.3

约去公因数。

$\frac{2401}{2048} - (16 \cdot 3 \frac{2401}{16 \cdot 4096})$

解题步骤 9.1.8.4

重写表达式。

$\frac{2401}{2048} - (3 (\frac{2401}{4096}))$

解题步骤 9.1.9

组合 $3$ 和 $\frac{2401}{4096}$ 。

$\frac{2401}{2048} - \frac{3 \cdot 2401}{4096}$

解题步骤 9.1.10

将 $3$ 乘以 $2401$ 。

$\frac{2401}{2048} - \frac{7203}{4096}$

解题步骤 9.2

要将 $\frac{2401}{2048}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2401}{2048} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7203}{4096}$

解题步骤 9.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4096$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1

将 $\frac{2401}{2048}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2401 \cdot 2}{2048 \cdot 2} - \frac{7203}{4096}$

解题步骤 9.3.2

将 $2048$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2401 \cdot 2}{4096} - \frac{7203}{4096}$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2401 \cdot 2 - 7203}{4096}$

解题步骤 9.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.5.1

将 $2401$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4802 - 7203}{4096}$

解题步骤 9.5.2

从 $4802$ 中减去 $7203$ 。

$\frac{- 2401}{4096}$

解题步骤 9.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2401}{4096}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{16}{7}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{16}{7}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \frac{16}{7}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{16}{7}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{7}{\frac{16}{7}} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + 7 (\frac{7}{16}) - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

解题步骤 11.2.1.2

乘以 $7 (\frac{7}{16})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.2.1

组合 $7$ 和 $\frac{7}{16}$ 。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{7 \cdot 7}{16} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

解题步骤 11.2.1.2.2

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

解题步骤 11.2.1.3

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.3.1

对 $\frac{16}{7}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{16^{2}}{7^{2}}}$

解题步骤 11.2.1.3.2

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{256}{7^{2}}}$

解题步骤 11.2.1.3.3

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{256}{49}}$

解题步骤 11.2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{256}))$

解题步骤 11.2.1.5

约去 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.5.1

从 $256$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{8 (32)}))$

解题步骤 11.2.1.5.2

约去公因数。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{8 \cdot 32}))$

解题步骤 11.2.1.5.3

重写表达式。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

解题步骤 11.2.2

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.1

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{1}{1} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{32}{32}$ 。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{32}{32} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

解题步骤 11.2.2.3

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{32}{32}$ 。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

解题步骤 11.2.2.4

将 $\frac{49}{16}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49}{16} \cdot \frac{2}{2} - \frac{49}{32}$

解题步骤 11.2.2.5

将 $\frac{49}{16}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{16 \cdot 2} - \frac{49}{32}$

解题步骤 11.2.2.6

重新排序 $16 \cdot 2$ 的因式。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 16} - \frac{49}{32}$

解题步骤 11.2.2.7

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{32} - \frac{49}{32}$

解题步骤 11.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32 + 49 \cdot 2 - 49}{32}$

解题步骤 11.2.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.1

将 $49$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32 + 98 - 49}{32}$

解题步骤 11.2.4.2

将 $32$ 和 $98$ 相加。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{130 - 49}{32}$

解题步骤 11.2.4.3

从 $130$ 中减去 $49$ 。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{81}{32}$

解题步骤 11.2.5

最终答案为 $\frac{81}{32}$ 。

$y = \frac{81}{32}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = 1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ 的局部极值。

$(\frac{16}{7}, \frac{81}{32})$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例