微积分学示例

$f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 x^{4} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$5 x^{4} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 24$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $20 x^{3} - 48 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 x^{4} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$5 x^{4} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ 。

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$

解题步骤 5.2

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$5 u^{2} - 24 u + 16 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 5.3

分组因式分解。

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解题步骤 5.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot 16 = 80$ 并且它们的和为 $b = - 24$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $- 24 u$ 中分解出因数 $- 24$ 。

$5 u^{2} - 24 u + 16 = 0$

解题步骤 5.3.1.2

把 $- 24$ 重写为 $- 4$ 加 $- 20$

$5 u^{2} + (- 4 - 20) u + 16 = 0$

解题步骤 5.3.1.3

运用分配律。

$5 u^{2} - 4 u - 20 u + 16 = 0$

解题步骤 5.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(5 u^{2} - 4 u) - 20 u + 16 = 0$

解题步骤 5.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (5 u - 4) - 4 (5 u - 4) = 0$

解题步骤 5.3.3

通过因式分解出最大公因数 $5 u - 4$ 来因式分解多项式。

$(5 u - 4) (u - 4) = 0$

解题步骤 5.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$5 u - 4 = 0$

$u - 4 = 0$

解题步骤 5.5

将 $5 u - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $5 u - 4$ 设为等于 $0$ 。

$5 u - 4 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $u$ 的 $5 u - 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$5 u = 4$

解题步骤 5.5.2.2

将 $5 u = 4$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $5 u = 4$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 u}{5} = \frac{4}{5}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 u}{5} = \frac{4}{5}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{4}{5}$

解题步骤 5.6

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

解题步骤 5.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$u = 4$

解题步骤 5.7

最终解为使 $(5 u - 4) (u - 4) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{4}{5}, 4$

解题步骤 5.8

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = \frac{4}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

解题步骤 5.9

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = \frac{4}{5}$

解题步骤 5.10

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.10.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{5}}$

解题步骤 5.10.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{4}{5}}$ 。

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解题步骤 5.10.2.1

将 $\sqrt{\frac{4}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.10.2.2

化简分子。

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解题步骤 5.10.2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.10.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.10.2.3

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.10.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.10.2.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.10.2.4.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.10.2.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 5.10.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.10.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 5.10.2.4.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 5.10.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.10.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.10.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.10.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.2.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.10.2.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 5.10.2.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.10.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.10.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.10.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.10.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.11

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = 4$

解题步骤 5.12

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.12.1

去掉圆括号。

$x^{2} = 4$

解题步骤 5.12.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 5.12.3

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 5.12.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 5.12.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 5.12.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.12.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 5.12.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 5.12.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 5.13

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$ 的解是 $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$ 。

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$20 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 9.1.1.1

对 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$20 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.1.2

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$20 \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.2

化简分子。

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解题步骤 9.1.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.2.2

将 ${\sqrt{5}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{5^{3}}$ 。

$20 \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.2.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.2.4

将 $125$ 重写为 $5^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 9.1.2.4.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$20 \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.2.4.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$20 \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.2.5

从根式下提出各项。

$20 \frac{8 \cdot 5 \sqrt{5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.2.6

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$20 \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 \frac{40 \sqrt{5}}{125} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (4) \frac{40 \sqrt{5}}{125} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.4.2

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 \cdot 4 \frac{40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.4.3

约去公因数。

$5 \cdot 4 \frac{40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.4.4

重写表达式。

$4 \frac{40 \sqrt{5}}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.5

组合 $4$ 和 $\frac{40 \sqrt{5}}{25}$ 。

$\frac{4 (40 \sqrt{5})}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.6

将 $40$ 乘以 $4$ 。

$\frac{160 \sqrt{5}}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.7

约去 $160$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.7.1

从 $160 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.7.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.7.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{5 (5)} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.7.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.7.2.3

重写表达式。

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.8

乘以 $- 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 。

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解题步骤 9.1.8.1

组合 $- 48$ 和 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 。

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 48 (2 \sqrt{5})}{5}$

解题步骤 9.1.8.2

将 $2$ 乘以 $- 48$ 。

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 96 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.1.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} - \frac{96 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.2

化简项。

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解题步骤 9.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{32 \sqrt{5} - 96 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.2.2

从 $32 \sqrt{5}$ 中减去 $96 \sqrt{5}$ 。

$\frac{- 64 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{64 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.1.1.1

对 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{{(2 \sqrt{5})}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.1.2

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.1.2.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.2.2

将 ${\sqrt{5}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{5^{5}}$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5^{5}}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.2.3

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{3125}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.2.4

将 $3125$ 重写为 $25^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 11.2.1.2.4.1

从 $3125$ 中分解出因数 $625$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{625 (5)}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.2.4.2

将 $625$ 重写为 $25^{2}$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{25^{2} \cdot 5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.2.5

从根式下提出各项。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \cdot (25 \sqrt{5})}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.2.6

将 $32$ 乘以 $25$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{800 \sqrt{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.3

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{800 \sqrt{5}}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $800$ 和 $3125$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

从 $800 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $25$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.2.1

从 $3125$ 中分解出因数 $25$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 (125)} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 \cdot 125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.1.5.1

对 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.5.2

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.6

化简分子。

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解题步骤 11.2.1.6.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.6.2

将 ${\sqrt{5}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{5^{3}}$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.6.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.6.4

将 $125$ 重写为 $5^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 11.2.1.6.4.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.6.4.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.6.5

从根式下提出各项。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \cdot (5 \sqrt{5})}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.6.6

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.7

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{40 \sqrt{5}}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.8

约去 $40$ 和 $125$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.8.1

从 $40 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.1.8.2.1

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 (25)} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.8.2.2

约去公因数。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 \cdot 25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.8.2.3

重写表达式。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.9

乘以 $- 8 \frac{8 \sqrt{5}}{25}$ 。

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解题步骤 11.2.1.9.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{8 \sqrt{5}}{25}$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{- 8 (8 \sqrt{5})}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.9.2

将 $8$ 乘以 $- 8$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{- 64 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 11.2.1.11

乘以 $16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 。

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解题步骤 11.2.1.11.1

组合 $16$ 和 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{16 (2 \sqrt{5})}{5}$

解题步骤 11.2.1.11.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 11.2.2

求公分母。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - (\frac{64 \sqrt{5}}{25} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 11.2.2.3

将 $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ 乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{25}{25}$

解题步骤 11.2.2.4

将 $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ 乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

解题步骤 11.2.2.5

重新排序 $25 \cdot 5$ 的因式。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{5 \cdot 25} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

解题步骤 11.2.2.6

将 $5$ 乘以 $25$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

解题步骤 11.2.2.7

将 $5$ 乘以 $25$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

解题步骤 11.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 64 \sqrt{5} \cdot 5 + 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

解题步骤 11.2.4

化简每一项。

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解题步骤 11.2.4.1

将 $5$ 乘以 $- 64$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5} + 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

解题步骤 11.2.4.2

将 $25$ 乘以 $32$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5} + 800 \sqrt{5}}{125}$

解题步骤 11.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 11.2.5.1

从 $32 \sqrt{5}$ 中减去 $320 \sqrt{5}$ 。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 288 \sqrt{5} + 800 \sqrt{5}}{125}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $- 288 \sqrt{5}$ 和 $800 \sqrt{5}$ 相加。

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $\frac{512 \sqrt{5}}{125}$ 。

$y = \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$20 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.1.1.1

对 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.1.2

对 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.1.3

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 (- \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.3

化简分子。

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解题步骤 13.1.3.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 (- \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.3.2

将 ${\sqrt{5}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{5^{3}}$ 。

$20 (- \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.3.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 (- \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.3.4

将 $125$ 重写为 $5^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 13.1.3.4.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$20 (- \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.3.4.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$20 (- \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.3.5

从根式下提出各项。

$20 (- \frac{8 \cdot 5 \sqrt{5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.3.6

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$20 (- \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.4

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 (- \frac{40 \sqrt{5}}{125}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.5.1

将 $- \frac{40 \sqrt{5}}{125}$ 中前置负号移到分子中。

$20 \frac{- 40 \sqrt{5}}{125} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.5.2

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (4) \frac{- 40 \sqrt{5}}{125} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.5.3

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 \cdot 4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.5.4

约去公因数。

$5 \cdot 4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.5.5

重写表达式。

$4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.6

组合 $4$ 和 $\frac{- 40 \sqrt{5}}{25}$ 。

$\frac{4 (- 40 \sqrt{5})}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.7

将 $- 40$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 160 \sqrt{5}}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.8

约去 $- 160$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.8.1

从 $- 160 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.8.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{5 (5)} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.8.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.8.2.3

重写表达式。

$\frac{- 32 \sqrt{5}}{5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 13.1.10

乘以 $- 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 。

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解题步骤 13.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 48$ 。

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 13.1.10.2

组合 $48$ 和 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 。

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{48 (2 \sqrt{5})}{5}$

解题步骤 13.1.10.3

将 $2$ 乘以 $48$ 。

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{96 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 13.2

化简项。

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解题步骤 13.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 32 \sqrt{5} + 96 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 13.2.2

将 $- 32 \sqrt{5}$ 和 $96 \sqrt{5}$ 相加。

$\frac{64 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.1.1

对 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.1.2

对 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{(2 \sqrt{5})}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.1.3

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 15.2.1.3.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.3.2

将 ${\sqrt{5}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{5^{5}}$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5^{5}}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.3.3

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{3125}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.3.4

将 $3125$ 重写为 $25^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 15.2.1.3.4.1

从 $3125$ 中分解出因数 $625$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{625 (5)}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.3.4.2

将 $625$ 重写为 $25^{2}$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{25^{2} \cdot 5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.3.5

从根式下提出各项。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \cdot (25 \sqrt{5})}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.3.6

将 $32$ 乘以 $25$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{800 \sqrt{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.4

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{800 \sqrt{5}}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.5

约去 $800$ 和 $3125$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.5.1

从 $800 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $25$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.5.2.1

从 $3125$ 中分解出因数 $25$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 (125)} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.5.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 \cdot 125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.5.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.6.1

对 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.6.2

对 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.6.3

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.7

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.8

化简分子。

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解题步骤 15.2.1.8.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.8.2

将 ${\sqrt{5}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{5^{3}}$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.8.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.8.4

将 $125$ 重写为 $5^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 15.2.1.8.4.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.8.4.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.8.5

从根式下提出各项。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \cdot (5 \sqrt{5})}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.8.6

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.9

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{40 \sqrt{5}}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.10

约去 $40$ 和 $125$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.10.1

从 $40 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.10.2.1

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 (25)}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.10.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 \cdot 25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.10.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.11

乘以 $- 8 (- \frac{8 \sqrt{5}}{25})$ 。

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解题步骤 15.2.1.11.1

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + 8 (\frac{8 \sqrt{5}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.11.2

组合 $8$ 和 $\frac{8 \sqrt{5}}{25}$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{8 (8 \sqrt{5})}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.11.3

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 15.2.1.12

乘以 $16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 。

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解题步骤 15.2.1.12.1

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} - 16 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 15.2.1.12.2

组合 $- 16$ 和 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{- 16 (2 \sqrt{5})}{5}$

解题步骤 15.2.1.12.3

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{- 32 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 15.2.1.13

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ 乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - (\frac{32 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{25}{25})$

解题步骤 15.2.2.4

将 $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ 乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

解题步骤 15.2.2.5

重新排序 $25 \cdot 5$ 的因式。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{5 \cdot 25} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

解题步骤 15.2.2.6

将 $5$ 乘以 $25$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

解题步骤 15.2.2.7

将 $5$ 乘以 $25$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 64 \sqrt{5} \cdot 5 - 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

将 $5$ 乘以 $64$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 320 \sqrt{5} - 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $25$ 乘以 $- 32$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 320 \sqrt{5} - 800 \sqrt{5}}{125}$

解题步骤 15.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $- 32 \sqrt{5}$ 和 $320 \sqrt{5}$ 相加。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{288 \sqrt{5} - 800 \sqrt{5}}{125}$

解题步骤 15.2.5.2

从 $288 \sqrt{5}$ 中减去 $800 \sqrt{5}$ 。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 512 \sqrt{5}}{125}$

解题步骤 15.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $- \frac{512 \sqrt{5}}{125}$ 。

$y = - \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

解题步骤 16

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$20 {(2)}^{3} - 48 \cdot 2$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 \cdot 8 - 48 \cdot 2$

解题步骤 17.1.2

将 $20$ 乘以 $8$ 。

$160 - 48 \cdot 2$

解题步骤 17.1.3

将 $- 48$ 乘以 $2$ 。

$160 - 96$

解题步骤 17.2

从 $160$ 中减去 $96$ 。

$64$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = {(2)}^{5} - 8 {(2)}^{3} + 16 (2)$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (2) = 32 - 8 {(2)}^{3} + 16 (2)$

解题步骤 19.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = 32 - 8 \cdot 8 + 16 (2)$

解题步骤 19.2.1.3

将 $- 8$ 乘以 $8$ 。

$f (2) = 32 - 64 + 16 (2)$

解题步骤 19.2.1.4

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 32 - 64 + 32$

解题步骤 19.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 19.2.2.1

从 $32$ 中减去 $64$ 。

$f (2) = - 32 + 32$

解题步骤 19.2.2.2

将 $- 32$ 和 $32$ 相加。

$f (2) = 0$

解题步骤 19.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 20

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$20 {(- 2)}^{3} - 48 \cdot - 2$

解题步骤 21

计算二阶导数。

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解题步骤 21.1

化简每一项。

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解题步骤 21.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 \cdot - 8 - 48 \cdot - 2$

解题步骤 21.1.2

将 $20$ 乘以 $- 8$ 。

$- 160 - 48 \cdot - 2$

解题步骤 21.1.3

将 $- 48$ 乘以 $- 2$ 。

$- 160 + 96$

解题步骤 21.2

将 $- 160$ 和 $96$ 相加。

$- 64$

解题步骤 22

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 2$ 是一个极大值

解题步骤 23

求 $x = - 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 23.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = {(- 2)}^{5} - 8 {(- 2)}^{3} + 16 (- 2)$

解题步骤 23.2

化简结果。

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解题步骤 23.2.1

化简每一项。

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解题步骤 23.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 2) = - 32 - 8 {(- 2)}^{3} + 16 (- 2)$

解题步骤 23.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2) = - 32 - 8 \cdot - 8 + 16 (- 2)$

解题步骤 23.2.1.3

将 $- 8$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- 2) = - 32 + 64 + 16 (- 2)$

解题步骤 23.2.1.4

将 $16$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = - 32 + 64 - 32$

解题步骤 23.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 23.2.2.1

将 $- 32$ 和 $64$ 相加。

$f (- 2) = 32 - 32$

解题步骤 23.2.2.2

从 $32$ 中减去 $32$ 。

$f (- 2) = 0$

解题步骤 23.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 24

这些是 $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ 的局部极值。

$(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{512 \sqrt{5}}{125})$ 是一个局部最大值

$(- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{512 \sqrt{5}}{125})$ 是一个局部最小值

$(2, 0)$ 是一个局部最小值

$(- 2, 0)$ 是一个局部最大值

解题步骤 25

微积分学 示例

微积分学示例