微积分学示例

$f (x) = x^{2} \sqrt[3]{x - 2}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 2}$ 重写成 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.8

合并分数。

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解题步骤 1.8.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.8.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$x^{2} (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$x^{2} (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.8.4

组合 $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.9

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.11

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.12

化简表达式。

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解题步骤 1.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.12.2

将 $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

解题步骤 1.14

将 $2$ 移到 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$

解题步骤 1.15

用公分母合并 $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ 。

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解题步骤 1.15.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.15.2

要将 $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.15.3

组合 $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.15.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.16

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.17

通过指数相加将 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.17.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.17.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.17.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.17.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.17.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.18

化简 $6 x {(x - 2)}^{1}$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x (x - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.19

化简。

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解题步骤 1.19.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.19.2

化简分子。

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解题步骤 1.19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.19.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.19.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.19.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.19.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.19.2.2

将 $x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$\frac{7 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.19.3

从 $7 x^{2} - 12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.19.3.1

从 $7 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (7 x) - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.19.3.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (7 x) + x \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.19.3.3

从 $x (7 x) + x \cdot - 12$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (7 x - 12)$ 且 $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 7 x - 12$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x \frac{d}{d x} (7 x - 12) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $7 x - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.5.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.5.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.5.5

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 + 0) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.5.6

化简表达式。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x \cdot 7 + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.5.6.2

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 \cdot x + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.5.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 x + (7 x - 12) \cdot 1) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.5.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.5.8.1

将 $7 x - 12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 x + 7 x - 12) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.5.8.2

将 $7 x$ 和 $7 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.6.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.10.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.11

合并分数。

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解题步骤 2.11.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.11.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.11.4

组合 $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.12

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.14

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.15

合并分数。

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解题步骤 2.15.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12) \cdot 1}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.15.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.15.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16

化简。

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解题步骤 2.16.1

化简分子。

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解题步骤 2.16.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x) + {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 12 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x + {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 12 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.3

将 $- 12$ 移到 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.4

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.5

乘以 $- \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (7 x)$ 。

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解题步骤 2.16.1.5.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - 7 \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.5.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 7 (2 x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.5.3

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.5.4

组合 $\frac{- 14 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x \cdot x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 (x \cdot x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.16.1.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{1 + 1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.16.1.6.1

将 $- \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 中前置负号移到分子中。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.6.2

从 $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.6.3

从 $- 12$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot (3 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.6.4

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (3 \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.6.5

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 4}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.7

组合 $\frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.8

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.9

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.10

从 $14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x$ 中减去 $\frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

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解题步骤 2.16.1.10.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.10.2

要将 $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.10.3

组合 $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.10.4

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.11

要将 $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.12

组合 $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.13

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14

化简分子。

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解题步骤 2.16.1.14.1

从 $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.16.1.14.1.1

从 $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.1.2

从 $- 14 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2}) - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.1.3

从 $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.1.4

从 $2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.1.5

从 $2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.2

通过指数相加将 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.16.1.14.2.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.2.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.2.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.2.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x (x - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.3

化简 $7 x {(x - 2)}^{1} \cdot 3$ 。

解题步骤 2.16.1.14.4

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.16.1.14.5.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 (x \cdot x) + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x^{2} + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.6

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x^{2} - 14 x) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.7

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x^{2} \cdot 3 - 14 x \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.8

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 14 x \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.9

将 $3$ 乘以 $- 14$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.10

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.11

通过指数相加将 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.16.1.14.11.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.11.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.11.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.11.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.12

化简 $- 6 \cdot 3 {(x - 2)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.13

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 (x - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.14

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 x - 18 \cdot - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.15

将 $- 18$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.16

从 $21 x^{2}$ 中减去 $7 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (14 x^{2} - 42 x - 18 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.17

从 $- 42 x$ 中减去 $18 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (14 x^{2} - 60 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.18

从 $14 x^{2} - 60 x + 36$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.16.1.14.18.1

从 $14 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) - 60 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.18.2

从 $- 60 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x) + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.18.3

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x) + 2 (18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.18.4

从 $2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2} - 30 x) + 2 (18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.18.5

从 $2 (7 x^{2} - 30 x) + 2 (18)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2} - 30 x + 18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot (2 (7 x^{2} - 30 x + 18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.14.19

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.15

要将 $\frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3}{3}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.16

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 的形式。

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解题步骤 2.16.1.16.1

将 $\frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x \cdot 3}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.16.2

重新排序 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ 的因式。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x \cdot 3}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.17

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 8 x \cdot 3}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.18

化简分子。

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解题步骤 2.16.1.18.1

从 $4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 8 x \cdot 3$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.16.1.18.1.1

从 $8 x \cdot 3$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 4 (2 x \cdot 3)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.18.1.2

从 $4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 4 (2 x \cdot 3)$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18 + 2 x \cdot 3)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.18.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18 + 6 x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.1.18.3

将 $- 30 x$ 和 $6 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.2

合并项。

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解题步骤 2.16.2.1

将 $\frac{\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.2.2

将 $\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.16.2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16.2.4

通过指数相加将 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 2.16.2.4.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 ({(x - 2)}^{\frac{4}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 2.16.2.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.16.2.4.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

解题步骤 2.16.2.4.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 2}$ 重写成 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.6

在公分母上合并分子。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.7

化简分子。

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解题步骤 4.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.8

合并分数。

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解题步骤 4.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.8.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$x^{2} (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$x^{2} (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.8.4

组合 $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.9

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.11

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.12

化简表达式。

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解题步骤 4.1.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.12.2

将 $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

解题步骤 4.1.14

将 $2$ 移到 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$

解题步骤 4.1.15

用公分母合并 $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ 。

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解题步骤 4.1.15.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.15.2

要将 $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.15.3

组合 $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.15.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.16

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.17

通过指数相加将 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1.17.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.17.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.17.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.17.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.17.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.18

化简 $6 x {(x - 2)}^{1}$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x (x - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.19

化简。

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解题步骤 4.1.19.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.19.2

化简分子。

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解题步骤 4.1.19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.19.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.19.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.19.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.19.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.19.2.2

将 $x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$\frac{7 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.19.3

从 $7 x^{2} - 12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.1.19.3.1

从 $7 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (7 x) - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.19.3.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (7 x) + x \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.19.3.3

从 $x (7 x) + x \cdot - 12$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$x (7 x - 12) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$7 x - 12 = 0$

解题步骤 5.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.3.3

将 $7 x - 12$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $7 x - 12$ 设为等于 $0$ 。

$7 x - 12 = 0$

解题步骤 5.3.3.2

求解 $x$ 的 $7 x - 12 = 0$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

在等式两边都加上 $12$ 。

$7 x = 12$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $7 x = 12$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 5.3.3.2.2.1

将 $7 x = 12$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.3.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{12}{7}$

解题步骤 5.3.4

最终解为使 $x (7 x - 12) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{12}{7}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{x (7 x - 12)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{x (7 x - 12)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ 重写成 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${(3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

对 $3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3

将 ${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 {(x - 2)}^{2} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $27 {(x - 2)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.1.1

将 $27 {(x - 2)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 {(x - 2)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 6.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.1.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 {(x - 2)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 6.3.3.1.2.1.2

用 ${(x - 2)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{27}$

解题步骤 6.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $27$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3.2

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.3.3.3

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, \frac{12}{7}, 2$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 (7 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {((0) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4 (7 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.2

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 (0 - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 24$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 (0 + 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.5

将 $0$ 和 $18$ 相加。

$\frac{4 \cdot 18}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 9.2.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{4 \cdot 18}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.2.2

将 $4$ 乘以 $18$ 。

$\frac{72}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.2.3

从 $72$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 \cdot 8}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.3

约去公因数。

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解题步骤 9.3.1

从 $9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 \cdot 8}{9 ({(- 2)}^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

$\frac{9 \cdot 8}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.3.3

重写表达式。

$\frac{8}{{(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{2} \sqrt[3]{(0) - 2}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 \sqrt[3]{(0) - 2}$

解题步骤 11.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f (0) = 0 \sqrt[3]{- 2}$

解题步骤 11.2.3

将 $- 2$ 重写为 ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$f (0) = 0 \sqrt[3]{- 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f (0) = 0 \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

解题步骤 11.2.4

从根式下提出各项。

$f (0) = 0 (- 1 \sqrt[3]{2})$

解题步骤 11.2.5

将 $- 1 \sqrt[3]{2}$ 重写为 $- \sqrt[3]{2}$ 。

$f (0) = 0 (- \sqrt[3]{2})$

解题步骤 11.2.6

乘以 $0 (- \sqrt[3]{2})$ 。

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解题步骤 11.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 \sqrt[3]{2}$

解题步骤 11.2.6.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt[3]{2}$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.7

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{12}{7}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 (7 {(\frac{12}{7})}^{2} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {((\frac{12}{7}) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

对 $\frac{12}{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 (7 \frac{12^{2}}{7^{2}} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.2

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 (7 \frac{144}{7^{2}} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.3

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 (7 (\frac{144}{49}) - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.4.1

从 $49$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{4 (7 \frac{144}{7 (7)} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.4.2

约去公因数。

$\frac{4 (7 \frac{144}{7 \cdot 7} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.4.3

重写表达式。

$\frac{4 (\frac{144}{7} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.5

乘以 $- 24 (\frac{12}{7})$ 。

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解题步骤 13.1.5.1

组合 $- 24$ 和 $\frac{12}{7}$ 。

$\frac{4 (\frac{144}{7} + \frac{- 24 \cdot 12}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.5.2

将 $- 24$ 乘以 $12$ 。

$\frac{4 (\frac{144}{7} + \frac{- 288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 (\frac{144}{7} - \frac{288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.7

在公分母上合并分子。

$\frac{4 (\frac{144 - 288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.8

从 $144$ 中减去 $288$ 。

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.9

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + 18 \cdot \frac{7}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.10

组合 $18$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + \frac{18 \cdot 7}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.11

在公分母上合并分子。

$\frac{4 \frac{- 144 + 18 \cdot 7}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.12

化简分子。

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解题步骤 13.1.12.1

将 $18$ 乘以 $7$ 。

$\frac{4 \frac{- 144 + 126}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.12.2

将 $- 144$ 和 $126$ 相加。

$\frac{4 (\frac{- 18}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.13

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{18}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.14

合并指数。

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解题步骤 13.1.14.1

提取负因数。

$\frac{- (4 (\frac{18}{7}))}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.14.2

组合 $4$ 和 $\frac{18}{7}$ 。

$\frac{- \frac{4 \cdot 18}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.14.3

将 $4$ 乘以 $18$ 。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12 - 2 \cdot 7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2.4

化简分子。

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解题步骤 13.2.4.1

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12 - 14}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2.4.2

从 $12$ 中减去 $14$ 。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{- 2}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(- \frac{2}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.2.6.1

对 $- \frac{2}{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{2}{7})}^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 13.2.6.2

对 $\frac{2}{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

解题步骤 13.2.7

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

解题步骤 13.2.8

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

解题步骤 13.2.9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.9.1

约去公因数。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

解题步骤 13.2.9.2

重写表达式。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{5} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

解题步骤 13.2.10

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

解题步骤 13.3

化简分母。

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解题步骤 13.3.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{- \frac{72}{7}}{- 9 \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 13.3.2

组合 $- 9$ 和 $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{- \frac{72}{7}}{\frac{- 9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 13.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 13.4.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{72}{7}}{- \frac{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 13.4.2

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{72}{7}}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 13.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{72}{7} \cdot \frac{7^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.6

合并。

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7 (9 \cdot 2^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 13.7

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $7^{1}$ 移动到分子。

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{5}{3}} \cdot 7^{- 1}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.8

通过指数相加将 $7^{\frac{5}{3}}$ 乘以 $7^{- 1}$ 。

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解题步骤 13.8.1

移动 $7^{- 1}$ 。

$\frac{72 \cdot (7^{- 1} \cdot 7^{\frac{5}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{72 \cdot 7^{- 1 + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.8.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{72 \cdot 7^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.8.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.8.5

在公分母上合并分子。

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.8.6

化简分子。

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解题步骤 13.8.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 3 + 5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.8.6.2

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.9

从 $72 \cdot 7^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.10

约去公因数。

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解题步骤 13.10.1

从 $9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 (2^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 13.10.2

约去公因数。

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.10.3

重写表达式。

$\frac{8 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{12}{7}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{12}{7}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = \frac{12}{7}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{12}{7}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{12}{7}) = {(\frac{12}{7})}^{2} \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

对 $\frac{12}{7}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{2}}{7^{2}} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

解题步骤 15.2.2

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{7^{2}} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

解题步骤 15.2.3

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

解题步骤 15.2.4

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7}}$

解题步骤 15.2.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7}}$

解题步骤 15.2.6

在公分母上合并分子。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12 - 2 \cdot 7}{7}}$

解题步骤 15.2.7

化简分子。

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解题步骤 15.2.7.1

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12 - 14}{7}}$

解题步骤 15.2.7.2

从 $12$ 中减去 $14$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{- 2}{7}}$

解题步骤 15.2.8

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{- \frac{2}{7}}$

解题步骤 15.2.9

将 $- \frac{2}{7}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{2}{7}$ 。

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解题步骤 15.2.9.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{2}{7})}$

解题步骤 15.2.9.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{2}{7})}$

解题步骤 15.2.10

从根式下提出各项。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot ({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{2}{7}})$

解题步骤 15.2.11

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \sqrt[3]{\frac{2}{7}})$

解题步骤 15.2.12

将 $\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}})$

解题步骤 15.2.13

将 $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- (\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}))$

解题步骤 15.2.14

合并和化简分母。

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解题步骤 15.2.14.1

将 $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}})$

解题步骤 15.2.14.2

对 $\sqrt[3]{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}})$

解题步骤 15.2.14.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}})$

解题步骤 15.2.14.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}})$

解题步骤 15.2.14.5

将 ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 15.2.14.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

解题步骤 15.2.14.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

解题步骤 15.2.14.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}})$

解题步骤 15.2.14.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.14.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}})$

解题步骤 15.2.14.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7})$

解题步骤 15.2.14.5.5

计算指数。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7})$

解题步骤 15.2.15

化简分子。

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解题步骤 15.2.15.1

将 ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{7^{2}}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{7^{2}}}{7})$

解题步骤 15.2.15.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{49}}{7})$

解题步骤 15.2.16

化简分子。

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解题步骤 15.2.16.1

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2 \cdot 49}}{7})$

解题步骤 15.2.16.2

将 $2$ 乘以 $49$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{98}}{7})$

解题步骤 15.2.17

乘以 $\frac{144}{49} (- \frac{\sqrt[3]{98}}{7})$ 。

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解题步骤 15.2.17.1

将 $\frac{144}{49}$ 乘以 $\frac{\sqrt[3]{98}}{7}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{49 \cdot 7}$

解题步骤 15.2.17.2

将 $49$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{12}{7}) = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$

解题步骤 15.2.18

最终答案为 $- \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$ 。

$y = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$

解题步骤 16

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 {((2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简表达式。

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解题步骤 17.1.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 17.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 17.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 17.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1

约去公因数。

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 17.2.2

重写表达式。

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{5}}$

解题步骤 17.3

化简表达式。

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解题步骤 17.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0}$

解题步骤 17.3.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{0}$

解题步骤 17.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{0}$

解题步骤 17.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 18

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 18.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{7}) \cup (\frac{12}{7}, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 18.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 18.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{(- 2) (7 (- 2) - 12)}{3 {((- 2) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.2.2

化简结果。

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解题步骤 18.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 18.2.2.1.1

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 2 (- 14 - 12)}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.2.2.1.2

从 $- 14$ 中减去 $12$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 26}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 18.2.2.2.1

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 26}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.2.2.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 26$ 。

$f' (- 2) = \frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.2.2.3

最终答案为 $\frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.3

将区间 $(0, \frac{12}{7})$ 内的任一数字（例如 $1$ ）代入一阶导数 $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 18.3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = \frac{(1) (7 (1) - 12)}{3 {((1) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.3.2

化简结果。

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解题步骤 18.3.2.1

将 $7 (1) - 12$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(1 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 18.3.2.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.3.2.2.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.3.2.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

解题步骤 18.3.2.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.2.2.4.1

约去公因数。

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

解题步骤 18.3.2.2.4.2

重写表达式。

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 18.3.2.2.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 \cdot 1}$

解题步骤 18.3.2.3

化简分子。

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解题步骤 18.3.2.3.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = \frac{7 - 12}{3 \cdot 1}$

解题步骤 18.3.2.3.2

从 $7$ 中减去 $12$ 。

$f' (1) = \frac{- 5}{3 \cdot 1}$

解题步骤 18.3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 18.3.2.4.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = \frac{- 5}{3}$

解题步骤 18.3.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$f' (1) = - \frac{5}{3}$

解题步骤 18.3.2.5

最终答案为 $- \frac{5}{3}$ 。

$- \frac{5}{3}$

解题步骤 18.4

将区间 $(\frac{12}{7}, 2)$ 内的任一数字（例如 $1.86$ ）代入一阶导数 $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 18.4.1

使用表达式中的 $1.86$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.86) = \frac{(1.86) (7 (1.86) - 12)}{3 {((1.86) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.4.2

化简结果。

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解题步骤 18.4.2.1

将 $1.86$ 乘以 $7 (1.86) - 12$ 。

$f' (1.86) = \frac{1.8972}{3 {(1.86 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.4.2.2

从 $1.86$ 中减去 $2$ 。

$f' (1.86) = \frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.4.2.3

最终答案为 $\frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.5

将区间 $(2, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 18.5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = \frac{(4) (7 (4) - 12)}{3 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.5.2

化简结果。

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解题步骤 18.5.2.1

化简分子。

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解题步骤 18.5.2.1.1

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = \frac{4 (28 - 12)}{3 {(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.5.2.1.2

从 $28$ 中减去 $12$ 。

$f' (4) = \frac{4 \cdot 16}{3 {(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.5.2.2

化简表达式。

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解题步骤 18.5.2.2.1

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f' (4) = \frac{4 \cdot 16}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.5.2.2.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$f' (4) = \frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.5.2.3

最终答案为 $\frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 18.7

由于一阶导数在 $x = \frac{12}{7}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{12}{7}$ 是极小值。

$x = \frac{12}{7}$ 是一个极小值

解题步骤 18.8

由于一阶导数在 $x = 2$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 18.9

这些是 $f (x) = x^{2} \sqrt[3]{x - 2}$ 的局部极值。

$x = 0$ 是一个极大值

$x = \frac{12}{7}$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = \frac{12}{7}$ 是一个极小值

解题步骤 19

微积分学 示例

微积分学示例