微积分学示例

$f (x) = 6 x$ , $[1, 5]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[1, 5]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 6 x d x)$

解题步骤 5

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 \int_{1}^{5} x d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5}))$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}))$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 7.2.2

化简。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 (\frac{25}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 7.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}))$

解题步骤 7.2.2.3

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 (\frac{25 - 1}{2}))$

解题步骤 7.2.2.4

从 $25$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 (\frac{24}{2}))$

解题步骤 7.2.2.5

约去 $24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.5.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 (\frac{2 \cdot 12}{2}))$

解题步骤 7.2.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 (\frac{2 \cdot 12}{2 (1)}))$

解题步骤 7.2.2.5.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 (\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}))$

解题步骤 7.2.2.5.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 (\frac{12}{1}))$

解题步骤 7.2.2.5.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (6 \cdot 12)$

解题步骤 7.2.2.6

将 $6$ 乘以 $12$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (72)$

解题步骤 8

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 72$

解题步骤 9

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

从 $72$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (18))$

解题步骤 9.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 18)$

解题步骤 9.3

重写表达式。

$A (x) = 18$

解题步骤 10

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