微积分学示例

$f (x) = x + \frac{96}{x}$ , $[6, 16]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[6, 16]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = x + \frac{96}{x}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{96}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[6, 16]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x + \frac{96}{x} d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x d x + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

解题步骤 7

由于 $96$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $96$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 \int_{6}^{16} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 8

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

代入并化简。

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解题步骤 9.1.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $16$ 处和在 $6$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} ((\frac{1}{2} \cdot 16^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

解题步骤 9.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $16$ 处和在 $6$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 16^{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3

化简。

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解题步骤 9.1.3.1

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $256$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{256}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.3

约去 $256$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.3.1

从 $256$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.3.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.3.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{128}{1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.3.2.4

用 $128$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.4

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 36 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.5

将 $36$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 36 (\frac{1}{2}) + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.6

组合 $- 36$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 36}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.7

约去 $- 36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.7.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.7.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.7.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 18}{1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.7.2.4

用 $- 18$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 18 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.1.3.8

从 $128$ 中减去 $18$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

解题步骤 9.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{| 16 |}{| 6 |}))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $16$ 之间的距离为 $16$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{| 6 |}))$

解题步骤 9.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $6$ 之间的距离为 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{6}))$

解题步骤 9.3.3

约去 $16$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 (8)}{6}))$

解题步骤 9.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

解题步骤 9.3.3.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

解题步骤 9.3.3.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

解题步骤 10

从 $16$ 中减去 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

解题步骤 11

化简每一项。

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解题步骤 11.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $96 \ln (\frac{8}{3})$ 。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln ({(\frac{8}{3})}^{96}))$

解题步骤 11.2

对 $\frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}}))$

解题步骤 12

化简项。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 110 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

解题步骤 12.2

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1

从 $110$ 中分解出因数 $10$ 。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (11)) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

解题步骤 12.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 11) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

解题步骤 12.2.3

重写表达式。

$A (x) = 11 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

解题步骤 13

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{10} \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$ 。

$A (x) = 11 + \ln ({(\frac{8^{96}}{3^{96}})}^{\frac{1}{10}})$

解题步骤 14

化简每一项。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{8^{96}}{3^{96}}$ 运用乘积法则。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{{(8^{96})}^{\frac{1}{10}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

解题步骤 14.2

将 ${(8^{96})}^{\frac{1}{10}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 14.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{96 (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

解题步骤 14.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.2.1

从 $96$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 (48) (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

解题步骤 14.2.2.2

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

解题步骤 14.2.2.3

约去公因数。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

解题步骤 14.2.2.4

重写表达式。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{48 (\frac{1}{5})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

解题步骤 14.2.3

组合 $48$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

解题步骤 14.3

将 ${(3^{96})}^{\frac{1}{10}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 14.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{96 (\frac{1}{10})}})$

解题步骤 14.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.2.1

从 $96$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 (48) (\frac{1}{10})}})$

解题步骤 14.3.2.2

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

解题步骤 14.3.2.3

约去公因数。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

解题步骤 14.3.2.4

重写表达式。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{48 (\frac{1}{5})}})$

解题步骤 14.3.3

组合 $48$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{\frac{48}{5}}})$

解题步骤 15

微积分学 示例

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