微积分学示例

$y = x - \ln (x)$

解题步骤 1

将 $y = x - \ln (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x - \ln (x)$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$1 - \frac{1}{x}$

解题步骤 2.3

重新排序项。

$- \frac{1}{x} + 1$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- \frac{1}{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.6

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.8

将 $x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

求微分。

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解题步骤 5.1.1.1

根据加法法则， $x - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 5.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 5.1.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$1 - \frac{1}{x}$

解题步骤 5.1.3

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1}{x} + 1$ 。

$- \frac{1}{x} + 1$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{x} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{1}{x} = - 1$

解题步骤 6.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 1$

解题步骤 6.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 6.4

将 $- \frac{1}{x} = - 1$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 6.4.1

将 $- \frac{1}{x} = - 1$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$- \frac{1}{x} x = - x$

解题步骤 6.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{x} x = - x$

解题步骤 6.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{x} x = - x$

解题步骤 6.4.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - x$

解题步骤 6.5

求解方程。

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解题步骤 6.5.1

将方程重写为 $- x = - 1$ 。

$- x = - 1$

解题步骤 6.5.2

将 $- x = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.5.2.1

将 $- x = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x = 1$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 1$

解题步骤 9

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{1}{{(1)}^{2}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 10.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = (1) - \ln (1)$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = 1 - 0$

解题步骤 12.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = 1 + 0$

解题步骤 12.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (1) = 1$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 13

这些是 $f (x) = x - \ln (x)$ 的局部极值。

$(1, 1)$ 是一个局部最小值

解题步骤 14

微积分学 示例

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