微积分学示例

$y = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 1

将 $y = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 2.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

解题步骤 2.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.8

在公分母上合并分子。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.9

化简分子。

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解题步骤 2.5.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.9.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.10

将负号移到分数的前面。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.12

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.13

将 $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.15

组合 $6$ 和 $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.16

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.17

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.18

约去公因数。

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解题步骤 2.5.18.1

从 $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.18.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5.18.3

重写表达式。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.6

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ 。

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解题步骤 2.6.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

解题步骤 2.6.2

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.6.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.6.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 2.6.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

解题步骤 2.6.8

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

运用分配律。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.7.2

合并项。

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解题步骤 2.7.2.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.7.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

解题步骤 2.7.3

重新排序项。

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.3.3

使用 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 1$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.4.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.5

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.8

将 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.8.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.8.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.11

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.12

化简分子。

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解题步骤 3.3.12.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.12.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.13

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.14

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.15

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.16

将 $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.18

组合 $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.19

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.20

通过指数相加将 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.3.20.1

移动 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.20.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.20.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.20.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.21

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - 4 - 4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.22

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - 4 + \frac{- 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.3.23

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $- 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

解题步骤 5.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

解题步骤 5.1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

解题步骤 5.1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 5.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 5.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 5.1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 5.1.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 5.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

解题步骤 5.1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.4

根据加法法则， $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 5.1.5.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 5.1.5.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.8

在公分母上合并分子。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.9

化简分子。

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解题步骤 5.1.5.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.9.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.10

将负号移到分数的前面。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.12

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.13

将 $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.15

组合 $6$ 和 $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.16

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.17

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.18

约去公因数。

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解题步骤 5.1.5.18.1

从 $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.18.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5.18.3

重写表达式。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.6

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

解题步骤 5.1.6.2

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 5.1.6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 5.1.6.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 5.1.6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 5.1.6.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 5.1.6.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

解题步骤 5.1.6.8

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

解题步骤 5.1.7

化简。

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解题步骤 5.1.7.1

运用分配律。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 5.1.7.2

合并项。

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解题步骤 5.1.7.2.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 5.1.7.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

解题步骤 5.1.7.3

重新排序项。

$f' (x) = - 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 。

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

解题步骤 6.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = 0, 2$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 7.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}} + 4$

解题步骤 7.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}} + 4$

解题步骤 7.2

将 $\frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

解题步骤 7.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.2.1

化简 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1

将 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.2

化简。

$x - 1 = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 7.3.3

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 0, 2, 1$

解题步骤 9

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 - \frac{4}{3 {((0) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

化简分母。

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解题步骤 10.1.1.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10.1.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$- 4 - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10.1.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 10.1.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1.4.1

约去公因数。

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 10.1.1.4.2

重写表达式。

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{4}}$

解题步骤 10.1.1.5

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

解题步骤 10.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 4 - \frac{4}{3}$

解题步骤 10.2

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 10.3

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 10.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

解题步骤 10.5

化简分子。

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解题步骤 10.5.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 12 - 4}{3}$

解题步骤 10.5.2

从 $- 12$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 16}{3}$

解题步骤 10.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16}{3}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 6 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (0) = 6 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f (0) = 6 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.4.1

约去公因数。

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2.1.4.2

重写表达式。

$f (0) = 6 {(- 1)}^{2} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2.1.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0) = 6 \cdot 1 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2.1.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 6 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2.1.7

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (0) = 6 - 2 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 12.2.1.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0) = 6 - 2 \cdot 1$

解题步骤 12.2.1.9

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 6 - 2$

解题步骤 12.2.2

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$f (0) = 4$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $4$ 。

$y = 4$

解题步骤 13

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 - \frac{4}{3 {((2) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

化简分母。

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解题步骤 14.1.1.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 14.1.1.2

一的任意次幂都为一。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

解题步骤 14.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 4 - \frac{4}{3}$

解题步骤 14.2

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 14.3

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 14.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

解题步骤 14.5

化简分子。

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解题步骤 14.5.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 12 - 4}{3}$

解题步骤 14.5.2

从 $- 12$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 16}{3}$

解题步骤 14.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16}{3}$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = 6 {((2) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = 6 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

解题步骤 16.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (2) = 6 \cdot 1 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

解题步骤 16.2.1.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (2) = 6 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

解题步骤 16.2.1.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1^{2}$

解题步骤 16.2.1.5

一的任意次幂都为一。

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1$

解题步骤 16.2.1.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (2) = 6 - 2$

解题步骤 16.2.2

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$f (2) = 4$

解题步骤 16.2.3

最终答案为 $4$ 。

$y = 4$

解题步骤 17

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 - \frac{4}{3 {((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 18

计算二阶导数。

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解题步骤 18.1

化简表达式。

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解题步骤 18.1.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 18.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 18.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 18.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.1

约去公因数。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 18.2.2

重写表达式。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{4}}$

解题步骤 18.3

化简表达式。

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解题步骤 18.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0}$

解题步骤 18.3.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$- 4 - \frac{4}{0}$

解题步骤 18.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- 4 - \frac{4}{0}$

解题步骤 18.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 19

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 19.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 19.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = - 4 \cdot - 2 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.2.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.2.2.1.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.2.2.2

将 $8$ 和 $4$ 相加。

$f' (- 2) = 12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.2.2.3

最终答案为 $12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.3

将区间 $(0, 1)$ 内的任一数字（例如 $0.5$ ）代入一阶导数 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.3.1

使用表达式中的 $0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.5) = - 4 \cdot 0.5 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.3.2

化简结果。

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解题步骤 19.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.3.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $0.5$ 。

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.3.2.1.2

从 $0.5$ 中减去 $1$ 。

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.3.2.2

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$f' (0.5) = 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.3.2.3

最终答案为 $2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.4

将区间 $(1, 2)$ 内的任一数字（例如 $1.5$ ）代入一阶导数 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.4.1

使用表达式中的 $1.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.5) = - 4 \cdot 1.5 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.4.2

化简结果。

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解题步骤 19.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.4.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $1.5$ 。

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.4.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 19.4.2.1.2.1

从 $1.5$ 中减去 $1$ 。

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{0.5}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.4.2.1.2.2

对 $0.5$ 进行 $\frac{1}{3}$ 次方运算。

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{0.79370052} + 4$

解题步骤 19.4.2.1.3

用 $4$ 除以 $0.79370052$ 。

$f' (1.5) = - 6 + 5.03968419 + 4$

解题步骤 19.4.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 19.4.2.2.1

将 $- 6$ 和 $5.03968419$ 相加。

$f' (1.5) = - 0.9603158 + 4$

解题步骤 19.4.2.2.2

将 $- 0.9603158$ 和 $4$ 相加。

$f' (1.5) = 3.03968419$

解题步骤 19.4.2.3

最终答案为 $3.03968419$ 。

$3.03968419$

解题步骤 19.5

将区间 $(2, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = - 4 \cdot 4 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.5.2

化简结果。

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解题步骤 19.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.5.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.5.2.1.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}} + 4$

解题步骤 19.5.2.2

将 $- 16$ 和 $4$ 相加。

$f' (4) = - 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.5.2.3

最终答案为 $- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 19.7

由于一阶导数在 $x = 1$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 1$ 是极小值。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 19.8

由于一阶导数在 $x = 2$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 2$ 是极大值。

$x = 2$ 是一个极大值

解题步骤 19.9

这些是 $f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ 的局部极值。

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 1$ 是一个极小值

$x = 2$ 是一个极大值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 1$ 是一个极小值

$x = 2$ 是一个极大值

解题步骤 20

微积分学 示例

微积分学示例