微积分学示例

$y = \cos (x) + \frac{x}{2}$

解题步骤 1

将 $y = \cos (x) + \frac{x}{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\cos (x) + \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$\frac{1}{2} - \sin (x)$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{2} - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 3.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

解题步骤 3.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

解题步骤 3.3

从 $0$ 中减去 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - \cos (x)$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{1}{2} - \sin (x) = 0$

解题步骤 5

从等式两边同时减去 $\frac{1}{2}$ 。

$- \sin (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6

将 $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

解题步骤 6.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

解题步骤 6.3.2

用 $\frac{1}{2}$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 7

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 8

化简右边。

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解题步骤 8.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 9

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 10

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 10.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 10.2

合并分数。

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解题步骤 10.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 10.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 10.3

化简分子。

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解题步骤 10.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 10.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 11

方程 $x = \frac{π}{6}$ 的解。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{π}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \cos (\frac{π}{6})$

解题步骤 13

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{6}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{6}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = \frac{π}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 15.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 15.2.1.3

乘以 $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.3.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 15.2.1.3.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

解题步骤 15.2.2

最终答案为 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$ 。

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

解题步骤 16

计算在 $x = \frac{5 π}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \cos (\frac{5 π}{6})$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- - \cos (\frac{π}{6})$

解题步骤 17.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 17.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.3.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{5 π}{6}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{5 π}{6}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = \frac{5 π}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

解题步骤 19.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

解题步骤 19.2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 19.2.1.4

乘以 $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.4.1

将 $\frac{5 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 19.2.1.4.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

解题步骤 19.2.2

最终答案为 $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$ 。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$ 的局部极值。

$(\frac{π}{6}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12})$ 是一个局部最大值

$(\frac{5 π}{6}, - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12})$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

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