微积分学示例

$y = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

解题步骤 1

将 $y = 15 x^{4} + 20 x^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $15 x^{4} + 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $60 x^{3} + 60 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $60$ 。

$f'' (x) = 180 x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 180 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 180 x^{2} + 60 (2 x)$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $60$ 。

$f'' (x) = 180 x^{2} + 120 x$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

根据加法法则， $15 x^{4} + 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

解题步骤 5.1.2.3

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$f' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

解题步骤 5.1.3.3

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$f' (x) = 60 x^{3} + 60 x^{2}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $60 x^{3} + 60 x^{2}$ 。

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

从 $60 x^{3} + 60 x^{2}$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $60 x^{3}$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

从 $60 x^{2}$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1) = 0$

解题步骤 6.2.3

从 $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1)$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

$60 x^{2} (x + 1) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 6.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 6.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 6.6

最终解为使 $60 x^{2} (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 0, - 1$

解题步骤 9

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$180 {(0)}^{2} + 120 (0)$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$180 \cdot 0 + 120 (0)$

解题步骤 10.1.2

将 $180$ 乘以 $0$ 。

$0 + 120 (0)$

解题步骤 10.1.3

将 $120$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 10.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 11

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 11.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 11.2

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $60 x^{3} + 60 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = 60 {(- 4)}^{3} + 60 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 11.2.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 4) = 60 \cdot - 64 + 60 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 11.2.2.1.2

将 $60$ 乘以 $- 64$ 。

$f' (- 4) = - 3840 + 60 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 11.2.2.1.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 4) = - 3840 + 60 \cdot 16$

解题步骤 11.2.2.1.4

将 $60$ 乘以 $16$ 。

$f' (- 4) = - 3840 + 960$

解题步骤 11.2.2.2

将 $- 3840$ 和 $960$ 相加。

$f' (- 4) = - 2880$

解题步骤 11.2.2.3

最终答案为 $- 2880$ 。

$- 2880$

解题步骤 11.3

将区间 $(- 1, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 0.5$ ）代入一阶导数 $60 x^{3} + 60 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.3.1

使用表达式中的 $- 0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.5) = 60 {(- 0.5)}^{3} + 60 {(- 0.5)}^{2}$

解题步骤 11.3.2

化简结果。

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解题步骤 11.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.2.1.1

对 $- 0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 0.5) = 60 \cdot - 0.125 + 60 {(- 0.5)}^{2}$

解题步骤 11.3.2.1.2

将 $60$ 乘以 $- 0.125$ 。

$f' (- 0.5) = - 7.5 + 60 {(- 0.5)}^{2}$

解题步骤 11.3.2.1.3

对 $- 0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 0.5) = - 7.5 + 60 \cdot 0.25$

解题步骤 11.3.2.1.4

将 $60$ 乘以 $0.25$ 。

$f' (- 0.5) = - 7.5 + 15$

解题步骤 11.3.2.2

将 $- 7.5$ 和 $15$ 相加。

$f' (- 0.5) = 7.5$

解题步骤 11.3.2.3

最终答案为 $7.5$ 。

$7.5$

解题步骤 11.4

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $60 x^{3} + 60 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 60 {(2)}^{3} + 60 {(2)}^{2}$

解题步骤 11.4.2

化简结果。

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解题步骤 11.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (2) = 60 \cdot 8 + 60 {(2)}^{2}$

解题步骤 11.4.2.1.2

将 $60$ 乘以 $8$ 。

$f' (2) = 480 + 60 {(2)}^{2}$

解题步骤 11.4.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 480 + 60 \cdot 4$

解题步骤 11.4.2.1.4

将 $60$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = 480 + 240$

解题步骤 11.4.2.2

将 $480$ 和 $240$ 相加。

$f' (2) = 720$

解题步骤 11.4.2.3

最终答案为 $720$ 。

$720$

解题步骤 11.5

由于一阶导数在 $x = - 1$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - 1$ 是极小值。

$x = - 1$ 是一个极小值

解题步骤 11.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 11.7

这些是 $f (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$ 的局部极值。

$x = - 1$ 是一个极小值

解题步骤 12

微积分学 示例

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