微积分学示例

$y = x^{2}$

解题步骤 1

将 $y = x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2}$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 x = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 x$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x$ 。

$2 x$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x = 0$

解题步骤 6.2

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 9

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.2

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x^{2}$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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