微积分学示例

$y = - x^{3} + x^{2} + x + 5$

解题步骤 1

将 $y = - x^{3} + x^{2} + x + 5$ 书写为一个函数。

$f (x) = - x^{3} + x^{2} + x + 5$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- x^{3} + x^{2} + x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 + 0$

解题步骤 2.3.4

将 $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $- 6 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 6 x + 2$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

根据加法法则， $- x^{3} + x^{2} + x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 5.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 5.1.3

求微分。

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解题步骤 5.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 5.1.3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1 + 0$

解题步骤 5.1.3.4

将 $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ 。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

解题步骤 6.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1

从 $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

解题步骤 6.2.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

解题步骤 6.2.1.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 6.2.1.4

从 $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 6.2.1.5

从 $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2

因数。

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解题步骤 6.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 6.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

把 $- 2$ 重写为 $1$ 加 $- 3$

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

运用分配律。

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 1$ 来因式分解多项式。

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 6.2.2.2

去掉多余的括号。

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.4

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $x$ 的 $3 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x = - 1$

解题步骤 6.4.2.2

将 $3 x = - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将 $3 x = - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{3}$

解题步骤 6.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 6.6

最终解为使 $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{3}, 1$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = - \frac{1}{3}, 1$

解题步骤 9

计算在 $x = - \frac{1}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

解题步骤 10.1.1.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

解题步骤 10.1.1.3

约去公因数。

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

解题步骤 10.1.1.4

重写表达式。

$- 2 \cdot - 1 + 2$

解题步骤 10.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 + 2$

解题步骤 10.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{1}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{1}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = - \frac{1}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = - {(- \frac{1}{3})}^{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

去掉圆括号。

$f (- \frac{1}{3}) = - {(- \frac{1}{3})}^{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2

化简每一项。

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解题步骤 12.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 12.2.2.1.1

对 $- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{3}) = - ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.1.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{3}) = - ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{3^{3}})) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 12.2.2.2.1

移动 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 \frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.2.2

将 ${(- 1)}^{3}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 12.2.2.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) (\frac{1^{3}}{3^{3}})) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3 + 1} (\frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.3

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{3}) = 1 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.4

将 $\frac{1^{3}}{3^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.5

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.6

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 12.2.2.7.1

对 $- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.7.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + 1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.9

将 $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.10

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.2.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.3

求公分母。

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解题步骤 12.2.3.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.3.2

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3} + 5$

解题步骤 12.2.3.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 5$

解题步骤 12.2.3.4

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + 5$

解题步骤 12.2.3.5

将 $5$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

解题步骤 12.2.3.6

将 $\frac{5}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 12.2.3.7

将 $\frac{5}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.3.8

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.3.9

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.3.10

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 + 5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.5

化简表达式。

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解题步骤 12.2.5.1

将 $5$ 乘以 $27$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 + 135}{27}$

解题步骤 12.2.5.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{4 - 9 + 135}{27}$

解题步骤 12.2.5.3

从 $4$ 中减去 $9$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 5 + 135}{27}$

解题步骤 12.2.5.4

将 $- 5$ 和 $135$ 相加。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{130}{27}$

解题步骤 12.2.6

最终答案为 $\frac{130}{27}$ 。

$y = \frac{130}{27}$

解题步骤 13

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 \cdot 1 + 2$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 6 + 2$

解题步骤 14.2

将 $- 6$ 和 $2$ 相加。

$- 4$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} + 1 + 5$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

去掉圆括号。

$f (1) = - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} + 1 + 5$

解题步骤 16.2.2

化简每一项。

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解题步骤 16.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 1 \cdot 1 + {(1)}^{2} + 1 + 5$

解题步骤 16.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 1 + {(1)}^{2} + 1 + 5$

解题步骤 16.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 1 + 1 + 1 + 5$

解题步骤 16.2.3

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 16.2.3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = 0 + 1 + 5$

解题步骤 16.2.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = 1 + 5$

解题步骤 16.2.3.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$f (1) = 6$

解题步骤 16.2.4

最终答案为 $6$ 。

$y = 6$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = - x^{3} + x^{2} + x + 5$ 的局部极值。

$(- \frac{1}{3}, \frac{130}{27})$ 是一个局部最小值

$(1, 6)$ 是一个局部最大值

解题步骤 18

微积分学 示例

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