微积分学示例

$P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- (x - 4) e^{x} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x - 4) e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 4$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$- ((x - 4) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.4

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.8

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$- (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$- (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

解题步骤 1.4.3

合并项。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$- x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

解题步骤 1.4.3.2

从 $4 e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$- x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

解题步骤 1.4.3.3

将 $- x e^{x} + 3 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 1.4.4

重新排序项。

$- e^{x} x + 3 e^{x}$

解题步骤 1.4.5

将 $- e^{x} x + 3 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- x e^{x} + 3 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ 。

$P'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$P'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$P'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

解题步骤 2.2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

解题步骤 2.2.5

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 e^{x}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$P'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 2.4.2

将 $- e^{x}$ 和 $3 e^{x}$ 相加。

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$P'' (x) = - e^{x} x + 2 e^{x}$

解题步骤 2.4.4

将 $- e^{x} x + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- (x - 4) e^{x} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x - 4) e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ 。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} ((x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 4$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f' (x) = - ((x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.2.4

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.2.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.2.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.2.8

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

运用分配律。

$f' (x) = - (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

解题步骤 4.1.4.2

运用分配律。

$f' (x) = - (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

解题步骤 4.1.4.3

合并项。

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解题步骤 4.1.4.3.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = - x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

解题步骤 4.1.4.3.2

从 $4 e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

解题步骤 4.1.4.3.3

将 $- x e^{x} + 3 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 4.1.4.4

重新排序项。

$f' (x) = - e^{x} x + 3 e^{x}$

解题步骤 4.1.4.5

将 $- e^{x} x + 3 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 4.2

$P (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- x e^{x} + 3 e^{x}$ 。

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

解题步骤 5.2

从 $- x e^{x} + 3 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (- x) + 3 e^{x} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $3 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (- x + 3) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$- x + 3 = 0$

解题步骤 5.4

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 5.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.4.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.5

将 $- x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $- x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$- x + 3 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $- x + 3 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- x = - 3$

解题步骤 5.5.2.2

将 $- x = - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $- x = - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.2.3.1

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$x = 3$

解题步骤 5.6

最终解为使 $e^{x} (- x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 3$

解题步骤 8

计算在 $x = 3$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 3 e^{3} + 2 e^{3}$

解题步骤 9

将 $- 3 e^{3}$ 和 $2 e^{3}$ 相加。

$- e^{3}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 3$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 3$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 3$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$P (3) = - ((3) - 4) \cdot e^{3} - 4$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

解题步骤 11.2.1.3

将 $e^{3}$ 乘以 $1$ 。

$P (3) = e^{3} - 4$

解题步骤 11.2.2

最终答案为 $e^{3} - 4$ 。

$y = e^{3} - 4$

解题步骤 12

这些是 $P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$ 的局部极值。

$(3, e^{3} - 4)$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

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