微积分学示例

$h (x) = e^{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} - 9$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 9$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2} - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$e^{x^{2} - 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x^{2} - 9} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x^{2} - 9} (2 x + 0)$

解题步骤 1.2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$e^{x^{2} - 9} (2 x)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

重新排序 $e^{x^{2} - 9} (2 x)$ 的因式。

$2 e^{x^{2} - 9} x$

解题步骤 1.3.2

将 $2 e^{x^{2} - 9} x$ 中的因式重新排序。

$2 x e^{x^{2} - 9}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{x^{2} - 9}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2} - 9}]$ 。

$h'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2} - 9})$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x^{2} - 9}$ 。

$h'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 9}) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} - 9$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 9$ 。

$h'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$h'' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2} - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$h'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$h'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 9} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$h'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 9} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.3

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$h'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 9} (2 x + 0)) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$h'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 9} (2 x)) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$h'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 9} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$h'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 9} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$h'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2} - 9} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$h'' (x) = 2 (x^{2} (e^{x^{2} - 9} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 移到 $e^{x^{2} - 9}$ 的左侧。

$h'' (x) = 2 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2} - 9}) + e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$h'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 9}) + e^{x^{2} - 9} \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 $e^{x^{2} - 9}$ 乘以 $1$ 。

$h'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 9}) + e^{x^{2} - 9})$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$h'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 9})) + 2 e^{x^{2} - 9}$

解题步骤 2.11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$h'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 9} + 2 e^{x^{2} - 9}$

解题步骤 2.11.3

重新排序项。

$h'' (x) = 4 e^{x^{2} - 9} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 9}$

解题步骤 2.11.4

将 $4 e^{x^{2} - 9} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 9}$ 中的因式重新排序。

$h'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 9} + 2 e^{x^{2} - 9}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 x e^{x^{2} - 9} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} - 9$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 9$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

解题步骤 4.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

解题步骤 4.1.1.3

使用 $x^{2} - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = e^{x^{2} - 9} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$f' (x) = e^{x^{2} - 9} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = e^{x^{2} - 9} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = e^{x^{2} - 9} (2 x + 0)$

解题步骤 4.1.2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = e^{x^{2} - 9} (2 x)$

解题步骤 4.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.3.1

重新排序 $e^{x^{2} - 9} (2 x)$ 的因式。

$f' (x) = 2 e^{x^{2} - 9} x$

解题步骤 4.1.3.2

将 $2 e^{x^{2} - 9} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = 2 x e^{x^{2} - 9}$

解题步骤 4.2

$h (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x e^{x^{2} - 9}$ 。

$2 x e^{x^{2} - 9}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x e^{x^{2} - 9} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x e^{x^{2} - 9} = 0$

解题步骤 5.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$e^{x^{2} - 9} = 0$

解题步骤 5.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.4

将 $e^{x^{2} - 9}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $e^{x^{2} - 9}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x^{2} - 9} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $e^{x^{2} - 9} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x^{2} - 9}) = \ln (0)$

解题步骤 5.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.4.2.3

$e^{x^{2} - 9} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.5

最终解为使 $2 x e^{x^{2} - 9} = 0$ 成立的所有值。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$4 {(0)}^{2} e^{{(0)}^{2} - 9} + 2 e^{{(0)}^{2} - 9}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 \cdot 0 e^{{(0)}^{2} - 9} + 2 e^{{(0)}^{2} - 9}$

解题步骤 9.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{{(0)}^{2} - 9} + 2 e^{{(0)}^{2} - 9}$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 e^{0 - 9} + 2 e^{{(0)}^{2} - 9}$

解题步骤 9.1.4

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$0 e^{- 9} + 2 e^{{(0)}^{2} - 9}$

解题步骤 9.1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 \frac{1}{e^{9}} + 2 e^{{(0)}^{2} - 9}$

解题步骤 9.1.6

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{e^{9}}$ 。

$0 + 2 e^{{(0)}^{2} - 9}$

解题步骤 9.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 2 e^{0 - 9}$

解题步骤 9.1.8

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$0 + 2 e^{- 9}$

解题步骤 9.1.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 + 2 \frac{1}{e^{9}}$

解题步骤 9.1.10

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{9}}$ 。

$0 + \frac{2}{e^{9}}$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $\frac{2}{e^{9}}$ 相加。

$\frac{2}{e^{9}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$h (0) = e^{{(0)}^{2} - 9}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$h (0) = e^{0 - 9}$

解题步骤 11.2.2

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$h (0) = e^{- 9}$

解题步骤 11.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$h (0) = \frac{1}{e^{9}}$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $\frac{1}{e^{9}}$ 。

$y = \frac{1}{e^{9}}$

解题步骤 12

这些是 $h (x) = e^{x^{2} - 9}$ 的局部极值。

$(0, \frac{1}{e^{9}})$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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