微积分学示例

$f (x) = x + \cos (2 x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x + \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$1 - \sin (2 x) \cdot 2$

解题步骤 1.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 2 \sin (2 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $1 - 2 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

解题步骤 2.3

从 $0$ 中减去 $4 \cos (2 x)$ 。

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$1 - 2 \sin (2 x) = 0$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin (2 x) = - 1$

解题步骤 5

将 $- 2 \sin (2 x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 2 \sin (2 x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$2 x = \frac{π}{6}$

解题步骤 8

将 $2 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $2 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 8.3.2

乘以 $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{12}$

解题步骤 9

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$2 x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 10

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 10.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 10.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 10.1.4

从 $π \cdot 6$ 中减去 $π$ 。

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解题步骤 10.1.4.1

将 $π$ 和 $6$ 重新排序。

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 10.1.4.2

从 $6 \cdot π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

解题步骤 10.2

将 $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

解题步骤 10.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

解题步骤 10.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

解题步骤 10.2.3

化简右边。

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解题步骤 10.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 10.2.3.2

乘以 $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 10.2.3.2.1

将 $\frac{5 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 10.2.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{5 π}{12}$

解题步骤 11

方程 $2 x = \frac{π}{6}$ 的解。

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{π}{12}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{12}))$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

解题步骤 13.1.2

约去公因数。

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

解题步骤 13.1.3

重写表达式。

$- 4 \cos (\frac{π}{6})$

解题步骤 13.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.3.2

约去公因数。

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.3.3

重写表达式。

$- 2 \sqrt{3}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{12}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{12}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = \frac{π}{12}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{π}{12}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{12}) = (\frac{π}{12}) + \cos (2 (\frac{π}{12}))$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

解题步骤 15.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

解题步骤 15.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

解题步骤 15.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.2.2

最终答案为 $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$y = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 16

计算在 $x = \frac{5 π}{12}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (6)})$

解题步骤 17.1.2

约去公因数。

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 6})$

解题步骤 17.1.3

重写表达式。

$- 4 \cos (\frac{5 π}{6})$

解题步骤 17.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 4 (- \cos (\frac{π}{6}))$

解题步骤 17.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 17.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.4.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.4.3

约去公因数。

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.4.4

重写表达式。

$- 2 (- \sqrt{3})$

解题步骤 17.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \sqrt{3}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{5 π}{12}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{5 π}{12}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = \frac{5 π}{12}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{12}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = (\frac{5 π}{12}) + \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

解题步骤 19.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

解题步骤 19.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

解题步骤 19.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

解题步骤 19.2.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 19.2.2

最终答案为 $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$y = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = x + \cos (2 x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{12}, \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是一个局部最大值

$(\frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

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