微积分学示例

$f (x) = \ln (4 - \ln (x))$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 - \ln (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

解题步骤 1.1.3

使用 $4 - \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $4 - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

解题步骤 1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 相加。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 1.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{1}{x})$

解题步骤 1.4

将 $\frac{1}{4 - \ln (x)}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$- \frac{1}{(4 - \ln (x)) x}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$- \frac{1}{4 x - \ln (x) x}$

解题步骤 1.5.2

从 $4 x - \ln (x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{1}{x \cdot 4 - \ln (x) x}$

解题步骤 1.5.2.2

从 $- \ln (x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{1}{x \cdot 4 + x (- \ln (x))}$

解题步骤 1.5.2.3

从 $x \cdot 4 + x (- \ln (x))$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x (4 - \ln (x))} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ 重写为 ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x (4 - \ln (x)))}^{- 1} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x (4 - \ln (x))$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x (4 - \ln (x))$ 。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3

使用 $x (4 - \ln (x))$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - (- {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4

乘。

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解题步骤 2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 ({(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4.2

将 ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 4 - \ln (x)$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (4 - \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.6

求微分。

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解题步骤 2.6.1

根据加法法则， $4 - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.6.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.6.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 相加。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (- \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.6.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{d}{d x} \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.7

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{1}{x}) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8

求微分。

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解题步骤 2.8.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.8.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.2.1.1

约去公因数。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.2.1.2

重写表达式。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 \cdot 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \cdot 1) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.4

化简表达式。

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解题步骤 2.8.4.1

将 $4 - \ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + 4 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.4.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot 0$

解题步骤 2.8.6

化简表达式。

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解题步骤 2.8.6.1

将 $\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + 0$

解题步骤 2.8.6.2

将 ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$

解题步骤 2.9

化简。

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解题步骤 2.9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = \frac{1}{{(x (4 - \ln (x)))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

解题步骤 2.9.2

对 $x (4 - \ln (x))$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

解题步骤 2.9.3

重新排序 $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} (3 - \ln (x))$ 的因式。

$f'' (x) = (3 - \ln (x)) (\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}})$

解题步骤 2.9.4

将 $3 - \ln (x)$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 - \ln (x)}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))} = 0$

解题步骤 4

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 5

不存在局部极值

解题步骤 6

微积分学 示例

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