微积分学示例

$f (x) = \sin (2 x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 1.2.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \cos (2 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) \cdot 1$

解题步骤 2.3.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 \cos (2 x) = 0$

解题步骤 4

将 $2 \cos (2 x) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $2 \cos (2 x) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\cos (2 x) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (0)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$2 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 7

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 8

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 9.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 9.1.5

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9.2

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 9.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 9.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 9.2.3

化简右边。

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解题步骤 9.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 9.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 9.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 10

方程 $2 x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

解题步骤 11

计算在 $x = \frac{π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

解题步骤 12

计算二阶导数。

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解题步骤 12.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 4 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

解题步骤 12.1.2

约去公因数。

$- 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 12.1.3

重写表达式。

$- 4 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 12.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 13

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 14

求 $x = \frac{π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 14.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{4}))$

解题步骤 14.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

解题步骤 14.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 14.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 14.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 1$

解题步骤 14.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 15

计算在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

解题步骤 16

计算二阶导数。

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解题步骤 16.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

解题步骤 16.1.2

约去公因数。

$- 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 16.1.3

重写表达式。

$- 4 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 16.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 16.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 16.4

乘以 $- 4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 16.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \cdot - 1$

解题步骤 16.4.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4$

解题步骤 17

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 18

求 $x = \frac{3 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 18.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

解题步骤 18.2

化简结果。

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解题步骤 18.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

解题步骤 18.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 18.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 18.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 18.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 18.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1$

解题步骤 18.2.5

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 19

这些是 $f (x) = \sin (2 x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{4}, 1)$ 是一个局部最大值

$(\frac{3 π}{4}, - 1)$ 是一个局部最小值

解题步骤 20

微积分学 示例

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