微积分学 示例

根据加法法则，${\displaystyle x-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^3}}$ 对 ${\displaystyle x}$ 的导数是 ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{1}{x}]+\frac{d}{dx}\left[\frac{2}{x^3}\right]}$。

使用幂法则求微分，根据该法则，${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ 等于 ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$，其中 ${\displaystyle n=1}$。

使用乘积法则求微分，根据该法则，${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ 等于 ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$，其中 ${\displaystyle f\left(x\right)=-1}$ 且 ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{x}}$。

将 ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ 重写为 ${\displaystyle x^{-1}}$。

使用幂法则求微分，根据该法则，${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ 等于 ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$，其中 ${\displaystyle n=-1}$。

因为 ${\displaystyle -1}$ 对于 ${\displaystyle x}$ 是常数，所以 ${\displaystyle -1}$ 对 ${\displaystyle x}$ 的导数为 ${\displaystyle 0}$。

将 ${\displaystyle -1}$ 乘以 ${\displaystyle -1}$。

将 ${\displaystyle x^{-2}}$ 乘以 ${\displaystyle 1}$。

将 ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ 乘以 ${\displaystyle 0}$。

将 ${\displaystyle x^{-2}}$ 和 ${\displaystyle 0}$ 相加。

因为 ${\displaystyle 2}$ 对于 ${\displaystyle x}$ 是常数，所以 ${\displaystyle \frac{2}{x^3}}$ 对 ${\displaystyle x}$ 的导数是 ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^3}\right]}$。

将 ${\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ 重写为 ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-1}}$。

使用链式法则求微分，根据该法则，${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ 等于 ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$，其中 ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ 且 ${\displaystyle g\left(x\right)=x^3}$。

使用幂法则求微分，根据该法则，${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ 等于 ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$，其中 ${\displaystyle n=3}$。

将 ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-2}}$ 中的指数相乘。

将 ${\displaystyle 3}$ 乘以 ${\displaystyle -1}$。

通过指数相加将 ${\displaystyle x^{-6}}$ 乘以 ${\displaystyle x^2}$。

将 ${\displaystyle -3}$ 乘以 ${\displaystyle 2}$。

合并项。

重新排序项。

将 ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ 重写为 ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-1}}$。

使用链式法则求微分，根据该法则，${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ 等于 ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$，其中 ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ 且 ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2}$。

使用幂法则求微分，根据该法则，${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ 等于 ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$，其中 ${\displaystyle n=2}$。

将 ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-2}}$ 中的指数相乘。

将 ${\displaystyle 2}$ 乘以 ${\displaystyle -1}$。

对 ${\displaystyle x}$ 进行 ${\displaystyle 1}$ 次方运算。

使用幂法则 ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ 合并指数。

从 ${\displaystyle 1}$ 中减去 ${\displaystyle 4}$。

因为 ${\displaystyle -6}$ 对于 ${\displaystyle x}$ 是常数，所以 ${\displaystyle -\frac{6}{x^4}}$ 对 ${\displaystyle x}$ 的导数是 ${\displaystyle -6\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^4}\right]}$。

将 ${\displaystyle \frac{1}{x^4}}$ 重写为 ${\displaystyle {\left(x^4\right)}^{-1}}$。

使用链式法则求微分，根据该法则，${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ 等于 ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$，其中 ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ 且 ${\displaystyle g\left(x\right)=x^4}$。

使用幂法则求微分，根据该法则，${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ 等于 ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$，其中 ${\displaystyle n=4}$。

将 ${\displaystyle {\left(x^4\right)}^{-2}}$ 中的指数相乘。

将 ${\displaystyle 4}$ 乘以 ${\displaystyle -1}$。

通过指数相加将 ${\displaystyle x^{-8}}$ 乘以 ${\displaystyle x^3}$。

将 ${\displaystyle -4}$ 乘以 ${\displaystyle -6}$。

使用负指数规则 ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$ 重写表达式。

使用负指数规则 ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$ 重写表达式。

合并项。

求微分。

计算 ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-\frac{1}{x}]}$。

计算 ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{2}{x^3}\right]}$。

使用负指数规则 ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$ 重写表达式。

使用负指数规则 ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$ 重写表达式。

化简。

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

Since ${\displaystyle x^2,x^4,1,1}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part ${\displaystyle 1,1,1,1}$ then find LCM for the variable part ${\displaystyle x^2,x^4}$.

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。