微积分学示例

$f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 \sin (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$9 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$9 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

解题步骤 1.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

解题步骤 1.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 1.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 1.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 1.13

化简。

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解题步骤 1.13.1

运用分配律。

$9 (- \sin^{2} (x)) + 9 \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.13.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$- 9 \sin^{2} (x) + 9 \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.13.3

将 $9 \cos^{2} (x)$ 重写为 ${(3 \cos (x))}^{2}$ 。

$- 9 \sin^{2} (x) + {(3 \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.13.4

将 $9 \sin^{2} (x)$ 重写为 ${(3 \sin (x))}^{2}$ 。

$- {(3 \sin (x))}^{2} + {(3 \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.13.5

将 $- {(3 \sin (x))}^{2}$ 和 ${(3 \cos (x))}^{2}$ 重新排序。

${(3 \cos (x))}^{2} - {(3 \sin (x))}^{2}$

解题步骤 1.13.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3 \cos (x)$ 和 $b = 3 \sin (x)$ 。

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - (3 \sin (x)))$

解题步骤 1.13.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.8

使用 FOIL 方法展开 $(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.13.8.1

运用分配律。

$3 \cos (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.8.2

运用分配律。

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.8.3

运用分配律。

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.9

合并 $3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 1.13.9.1

按照 $3 \cos (x) (- 3 \sin (x))$ 和 $3 \sin (x) (3 \cos (x))$ 重新排列因数。

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) - 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.9.2

将 $- 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ 和 $3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ 相加。

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 0 + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.9.3

将 $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ 和 $0$ 相加。

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.10

化简每一项。

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解题步骤 1.13.10.1

乘以 $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.13.10.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.10.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.10.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.10.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.10.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$9 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

解题步骤 1.13.10.2

乘以 $3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.13.10.2.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin (x) \sin (x)$

解题步骤 1.13.10.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 1.13.10.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 1.13.10.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 \cos^{2} (x) - 9 {\sin (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 1.13.10.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 9 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.2.5

将 $- 2$ 乘以 $9$ 。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

解题步骤 2.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 2.4

合并项。

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解题步骤 2.4.1

重新排序 $- 18 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.4.2

从 $- 18 \cos (x) \sin (x)$ 中减去 $18 \cos (x) \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 36 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 4

对 $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

从 $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $9$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $9 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.1.2

从 $- 9 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4.1.3

从 $9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4.2

因数。

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解题步骤 4.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$9 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

解题步骤 4.2.2

去掉多余的括号。

$9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 6

将 $\cos (x) + \sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos (x) + \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) + \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.2.2

重写表达式。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.4

分离分数。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 6.2.6

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 6.2.7

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$1 + \tan (x) = 0$

解题步骤 6.2.8

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 6.2.9

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 6.2.10

化简右边。

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解题步骤 6.2.10.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.11

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 6.2.12

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.2.12.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 6.2.12.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 6.2.13

方程 $x = - \frac{π}{4}$ 的解。

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

解题步骤 7

将 $\cos (x) - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\cos (x) - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.2.2

重写表达式。

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.3

分离分数。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.5

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.6

分离分数。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 7.2.8

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 7.2.9

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$1 - \tan (x) = 0$

解题步骤 7.2.10

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \tan (x) = - 1$

解题步骤 7.2.11

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.2.11.1

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 7.2.11.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.11.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 7.2.11.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 7.2.11.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.11.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = 1$

解题步骤 7.2.12

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 7.2.13

化简右边。

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解题步骤 7.2.13.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.14

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.15

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 7.2.15.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.15.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.15.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.15.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 7.2.15.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.15.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 7.2.15.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 7.2.16

方程 $x = \frac{π}{4}$ 的解。

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

解题步骤 8

最终解为使 $9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

解题步骤 9

计算在 $x = - \frac{π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 36 \cos (- \frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 36 \cos (\frac{7 π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 10.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 10.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 10.4.2

约去公因数。

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 10.4.3

重写表达式。

$- 18 \sqrt{2} \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 10.5

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 10.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 10.7

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 10.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.8.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10.8.2

从 $- 18 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10.8.3

约去公因数。

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10.8.4

重写表达式。

$- 9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

解题步骤 10.9

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

解题步骤 10.10

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

解题步骤 10.11

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

解题步骤 10.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

解题步骤 10.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 10.14

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 10.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 10.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 10.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 10.14.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.14.4.1

约去公因数。

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 10.14.4.2

重写表达式。

$9 \cdot 2^{1}$

解题步骤 10.14.5

计算指数。

$9 \cdot 2$

解题步骤 10.15

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$18$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{π}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{π}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = - \frac{π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $- \frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (- \frac{π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{7 π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 12.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 12.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 12.2.4

乘以 $9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 12.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 12.2.4.2

组合 $- 9$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 12.2.5

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 12.2.6

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 12.2.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 12.2.8

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 12.2.9

乘以 $- \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 12.2.9.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} (9 \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.9.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.9.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.9.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

解题步骤 12.2.10

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 12.2.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 12.2.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 12.2.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 12.2.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.10.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 12.2.10.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

解题步骤 12.2.10.5

计算指数。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

解题步骤 12.2.11

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{18}{4}$

解题步骤 12.2.12

约去 $18$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.12.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

解题步骤 12.2.12.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.12.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.12.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.12.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9}{2}$

解题步骤 12.2.13

最终答案为 $- \frac{9}{2}$ 。

$y = - \frac{9}{2}$

解题步骤 13

计算在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 36 \cos (\frac{3 π}{4}) \sin (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 14.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 14.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 14.3.2

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 14.3.3

约去公因数。

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 14.3.4

重写表达式。

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 14.4

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 14.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 14.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.7.1

从 $18 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 14.7.2

约去公因数。

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 14.7.3

重写表达式。

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

解题步骤 14.8

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

解题步骤 14.9

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

解题步骤 14.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

解题步骤 14.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 14.12

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 14.12.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 14.12.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 14.12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 14.12.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.12.4.1

约去公因数。

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 14.12.4.2

重写表达式。

$9 \cdot 2^{1}$

解题步骤 14.12.5

计算指数。

$9 \cdot 2$

解题步骤 14.13

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$18$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 16

求 $x = \frac{3 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 16.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 16.2.3

组合 $9$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 16.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

解题步骤 16.2.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.6

乘以 $\frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 16.2.6.1

将 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 16.2.6.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 16.2.6.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 16.2.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 16.2.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 16.2.6.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

解题步骤 16.2.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 16.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 16.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 16.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 16.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.7.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 16.2.7.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

解题步骤 16.2.7.5

计算指数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

解题步骤 16.2.8

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{18}{4}$

解题步骤 16.2.9

约去 $18$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.9.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

解题步骤 16.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 16.2.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

解题步骤 16.2.9.2.2

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

解题步骤 16.2.9.2.3

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9}{2}$

解题步骤 16.2.10

最终答案为 $- \frac{9}{2}$ 。

$y = - \frac{9}{2}$

解题步骤 17

计算在 $x = \frac{π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 18

计算二阶导数。

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解题步骤 18.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.2.2

约去公因数。

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.2.3

重写表达式。

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 18.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.4.1

从 $- 18 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 18.4.2

约去公因数。

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 18.4.3

重写表达式。

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

解题步骤 18.5

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

解题步骤 18.6

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

解题步骤 18.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

解题步骤 18.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 18.9

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 18.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 18.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 18.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 18.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.9.4.1

约去公因数。

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 18.9.4.2

重写表达式。

$- 9 \cdot 2^{1}$

解题步骤 18.9.5

计算指数。

$- 9 \cdot 2$

解题步骤 18.10

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$- 18$

解题步骤 19

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 20

求 $x = \frac{π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 20.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2

化简结果。

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解题步骤 20.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.2

组合 $9$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 20.2.4

乘以 $\frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 20.2.4.1

将 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 20.2.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 20.2.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 20.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 20.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 20.2.4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

解题步骤 20.2.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 20.2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 20.2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 20.2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 20.2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 20.2.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

解题步骤 20.2.5.5

计算指数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

解题步骤 20.2.6

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{18}{4}$

解题步骤 20.2.7

约去 $18$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.7.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

解题步骤 20.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 20.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

解题步骤 20.2.7.2.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

解题步骤 20.2.7.2.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9}{2}$

解题步骤 20.2.8

最终答案为 $\frac{9}{2}$ 。

$y = \frac{9}{2}$

解题步骤 21

计算在 $x = \frac{5 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 36 \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 22

计算二阶导数。

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解题步骤 22.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 22.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 22.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.3.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 22.3.2

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 22.3.3

约去公因数。

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 22.3.4

重写表达式。

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 22.4

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 22.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 22.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 22.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.7.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 22.7.2

从 $18 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 22.7.3

约去公因数。

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 22.7.4

重写表达式。

$9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

解题步骤 22.8

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

解题步骤 22.9

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

解题步骤 22.10

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

解题步骤 22.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

解题步骤 22.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 22.13

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 22.13.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 22.13.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 22.13.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 22.13.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.13.4.1

约去公因数。

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 22.13.4.2

重写表达式。

$- 9 \cdot 2^{1}$

解题步骤 22.13.5

计算指数。

$- 9 \cdot 2$

解题步骤 22.14

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$- 18$

解题步骤 23

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{5 π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{5 π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 24

求 $x = \frac{5 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 24.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 24.2

化简结果。

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解题步骤 24.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 24.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 24.2.3

乘以 $9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 24.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 24.2.3.2

组合 $- 9$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 24.2.4

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 24.2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

解题步骤 24.2.6

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 24.2.7

乘以 $- \frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 24.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 (\frac{9 \sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 24.2.7.2

将 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 24.2.7.3

将 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 24.2.7.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 24.2.7.5

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 24.2.7.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 24.2.7.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 24.2.7.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

解题步骤 24.2.8

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 24.2.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 24.2.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 24.2.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 24.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 24.2.8.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 24.2.8.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

解题步骤 24.2.8.5

计算指数。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

解题步骤 24.2.9

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{18}{4}$

解题步骤 24.2.10

约去 $18$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 24.2.10.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

解题步骤 24.2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 24.2.10.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

解题步骤 24.2.10.2.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

解题步骤 24.2.10.2.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9}{2}$

解题步骤 24.2.11

最终答案为 $\frac{9}{2}$ 。

$y = \frac{9}{2}$

解题步骤 25

这些是 $f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$ 的局部极值。

$(- \frac{π}{4}, - \frac{9}{2})$ 是一个局部最小值

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{9}{2})$ 是一个局部最小值

$(\frac{π}{4}, \frac{9}{2})$ 是一个局部最大值

$(\frac{5 π}{4}, \frac{9}{2})$ 是一个局部最大值

解题步骤 26

微积分学 示例

微积分学示例