微积分学示例

$f (x) = x + \frac{3}{x}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x + \frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 + 3 (- x^{- 2})$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$1 - 3 x^{- 2}$

解题步骤 3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - 3 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

合并项。

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解题步骤 4.1.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$1 + \frac{- 3}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.2

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{3}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$- \frac{3}{x^{2}} + 1$

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