微积分学示例

$f (x) = x {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(2 x - 5)}^{3}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{3}] + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 x - 5$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 5$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $2 x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \cdot 1$

解题步骤 3.8

将 ${(2 x - 5)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$ 中分解出因数 ${(2 x - 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $x (6 {(2 x - 5)}^{2})$ 中分解出因数 ${(2 x - 5)}^{2}$ 。

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

从 ${(2 x - 5)}^{3}$ 中分解出因数 ${(2 x - 5)}^{2}$ 。

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$

解题步骤 4.1.3

从 ${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$ 中分解出因数 ${(2 x - 5)}^{2}$ 。

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6) + 2 x - 5)$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

${(2 x - 5)}^{2} (6 \cdot x + 2 x - 5)$

解题步骤 4.2.2

将 $6 x$ 和 $2 x$ 相加。

${(2 x - 5)}^{2} (8 x - 5)$

解题步骤 4.3

将 ${(2 x - 5)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 。

$(2 x - 5) (2 x - 5) (8 x - 5)$

解题步骤 4.4

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$(2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

解题步骤 4.4.2

运用分配律。

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

解题步骤 4.4.3

运用分配律。

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

解题步骤 4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

解题步骤 4.5.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

移动 $x$ 。

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

解题步骤 4.5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

解题步骤 4.5.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

解题步骤 4.5.1.4

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$(4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

解题步骤 4.5.1.5

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

解题步骤 4.5.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25) (8 x - 5)$

解题步骤 4.5.2

从 $- 10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$

解题步骤 4.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$ 。

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7

化简每一项。

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解题步骤 4.7.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.7.2.1

移动 $x$ 。

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.4

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.5

使用乘法的交换性质重写。

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x \cdot x - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.7.6.1

移动 $x$ 。

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 (x \cdot x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.7

将 $- 20$ 乘以 $8$ 。

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.8

将 $- 5$ 乘以 $- 20$ 。

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.9

将 $8$ 乘以 $25$ 。

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x + 25 \cdot - 5$

解题步骤 4.7.10

将 $25$ 乘以 $- 5$ 。

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

解题步骤 4.8

从 $- 20 x^{2}$ 中减去 $160 x^{2}$ 。

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

解题步骤 4.9

将 $100 x$ 和 $200 x$ 相加。

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 300 x - 125$

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