微积分学示例

$f (x) = x {(x - 15)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(x - 15)}^{2}$ 重写为 $(x - 15) (x - 15)$ 。

$\frac{d}{d x} [x ((x - 15) (x - 15))]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 15) (x - 15)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 15) - 15 (x - 15))]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 (x - 15))]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 15$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 \cdot x - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

解题步骤 3.1.3

将 $- 15$ 乘以 $- 15$ 。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 x - 15 x + 225)]$

解题步骤 3.2

从 $- 15 x$ 中减去 $15 x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 30 x + 225)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 30 x + 225$ 。

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 30 x + 225] + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $x^{2} - 30 x + 225$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3

因为 $- 30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 30 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (2 x - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (2 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.5

将 $- 30$ 乘以 $1$ 。

$x (2 x - 30 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.6

因为 $225$ 对于 $x$ 是常数，所以 $225$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (2 x - 30 + 0) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.7

将 $2 x - 30$ 和 $0$ 相加。

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \cdot 1$

解题步骤 5.9

将 $x^{2} - 30 x + 225$ 乘以 $1$ 。

$x (2 x - 30) + x^{2} - 30 x + 225$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$x (2 x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

解题步骤 6.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

解题步骤 6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

解题步骤 6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

解题步骤 6.2.5

将 $- 30$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{2} - 30 \cdot x + x^{2} - 30 x + 225$

解题步骤 6.2.6

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} - 30 x - 30 x + 225$

解题步骤 6.2.7

从 $- 30 x$ 中减去 $30 x$ 。

$3 x^{2} - 60 x + 225$

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